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Campos Magnéticos Induzidos
Equações de Maxwell (forma integral)
Oscilações em Cavidades
Aplicação
 
 

1- Campos Magnéticos Induzidos
 

            A seguir, faremos generalizações nas leis de Ampère e Faraday adicionando termos, ainda não considerados, nas suas respectivas equações.

            Observando as equações acima, notamos uma certa semelhança no lado esquerdo de ambas no que diz respeito à sua forma funcional. Isto é, tanto a lei de Ampère quanto a de Faraday são definidas por uma integração, em um caminho fechado, dos campos magnéticos e elétricos, respectivamente. Mas os lados direitos são distintos. A lei de Ampère é proporcional à corrente, enquanto que a de Faraday, proporcional à variação do fluxo de campo magnético.

            Estas diferenças levam-nos a questionar se poderíamos adicionar termos no lado direito das equações, de forma a mantê-las com a mesma simetria funcional.   Em resumo, teríamos que resolver as questões que se seguem:

Poderíamos adicionar, no lado direito da equação de Ampère, um termo
    correspondente a variação do fluxo do campo elétrico ?
Poderíamos adicionar, no lado direito da equação de Faraday, um termo
    correspondente a correntes magnéticas ?

            Matematicamente, nossas questões resultariam nas seguintes formas para as leis de Ampère e Faraday, respectivamente;

  .

            Caso isto fosse possível, ambas equações seriam completamente simétricas na sua forma. Entretanto, o termo relacionado com a corrente de campo magnético, i_B, introduzido na lei de Faraday não faz sentido pois não existe (ainda) cargas magnéticas isoladas, ou monopolos magnéticos. Isto é, q_B = 0. Então, a lei de Faraday (segunda equação) ficaria dependente apenas da variação do fluxo de campo magnético. Por sua vez, o termo relacionado à variação temporal do fluxo E(t), introduzido na equação de Ampère, pode ser facilmente justificado usando o conceito de correntes de deslocamento ou de continuidade.

            Para ilustrar nossas suposições, vamos estudar o comportamento de um capacitor em fase de carga e ou descarga. Neste caso, observaremos o surgimento de uma corrente elétrica de condução devido à carga contida no capacitor. Esta corrente de condução não tem continuidade na região entre as placas do capacitor porque, nesse intervalo, não há transporte de cargas. A corrente existirá apenas durante o carregamento ou descarregamento do capacitor. Veja Figura A6.1. Então, para justificar a continuidade da corrente no circuito, introduz-se o conceito de corrente de deslocamento como sendo proporcional à taxa de variação do campo elétrico, no interior do capacitor.

Figura A6. 1- Corrente de deslocamento durante o descarregamento do capacitor

Ou seja,

onde a corrente de deslocamento será dada por,

.

No entanto, como se provará a seguir, a corrente de deslocamento i_d tem a mesma dimensão que a corrente elétrica convencional,

onde E é o campo elétrico. Isolando i na equação acima, verifica-se que ela corresponde exatamente a corrente de deslocamento,

    Isto mostra que a intensidade da corrente de deslocamento, no intervalo entre as placas, é igual à intensidade da corrente de condução nos condutores ligados às placas.
 

2- As Equações de Maxwell – (forma integral)
 

            As equações de Maxwell são as equações básicas para todo eletromagnetismo. Elas são fundamentais no mesmo sentido que as três leis de Newton e lei da gravitação são para a mecânica. Em um sentido mais geral elas são mais fundamentais, pois são consistentes com a teoria da relatividade, enquanto as equações de Newton não são. Devido o fato de que todo o eletromagnetismo estar contido nesse conjunto de quatro equações, as equações de Maxwell são consideradas um dos grandes triunfos do pensamento humano.
 
 

    A seguir apresentamos as quatro equações de Maxwell, em sua forma integral.

            A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica no interior da mesma. Assim, podemos enunciá-la como: "O fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é proporcional à soma das cargas no interior desta superfície".

              Esta lei mostra uma relação muito importante entre a carga contida num elemento de volume e o fluxo de campo elétrico através da superfície que delimita o volume. Com isto podemos mostrar que as cargas positivas são fontes de campos divergentes e as negativas de campos convergentes.

              Esta lei assegura a existência de monopolos elétricos, ou a existência de cargas elétricas isoladas e tem uma grande importância no cálculo de campos elétricos em sistemas cuja a distribuição de carga têm alta simetria. A equação, para a lei de Gauss, é válida sem restrições, mas em geral não é simples resolve-la.

    Lei de Gauss (magnetismo)

            A lei de Gauss para o magnetismo é definida de forma análoga à sua correspondente para a eletrostática. A diferença básica está no fato de não existir monopolos magnéticos. Isto implica que a integral do fluxo magnético, em um superfície fechada, será sempre igual a zero. Deve-se notar, a propósito, que existem pesquisadores buscando a descoberta dos monopolos magnéticos, pois não há razão concreta para que eles não existam. Caso isto se concretize será necessário adicionar um termo no lado direito da segunda equação.

    Lei de Faraday

            A lei de Faraday relaciona um fluxo magnético variável no tempo à integral de linha de um campo elétrico. Isto mostra que campos magnéticos variáveis no tempo geram campos elétricoso que explica no aparecimento das correntes e forças eletromotrizes induzidas.

              Deve-se ressaltar também que a integral de linha do campo elétrico (lado esquerdo da equação de Faraday) não é nula, como no caso da eletrostática. Na eletrostática a integral de E.dl, num caminho fechado é sempre igual a zero. Isto deve-se ao fato dos campos elétricos gerados por cargas elétricas estáticas serem sempre divergentes ou convergentes. Diferentemente, na lei de Faraday os campos elétricos são rotacionais.

              A ausência dos monopolos magnéticos implica que não haverá um termo, no lado direito da terceira equação, devido a correntes magnéticas.

Faraday

    Lei de Ampere

            A lei de Ampère relaciona campos elétricos variáveis no tempo com campos magnéticos. Nota-se também, nesta equação, que correntes elétricas induzem campos magnéticos. Sua forma matemática é semelhante à de Faraday, exceto por ter um termo adicional devido à corrente de continuidade.

            Nas duas últimas equações, leis de Ampère e Faraday, notamos uma grande correlação entre campos elétricos e magnéticos a qual aparece, sempre que temos campos elétricos e ou magnéticos variáveis no tempo.

            As duas simulações a seguir mostram algumas aplicações relacionadas com as equações de Maxwell.

3- Oscilações em Cavidades

    As cavidades ressonantes são regiões do espaço onde existem oscilações de campos magnéticos e elétricos. O interior de um capacitor, em fase de carga ou descarga, é uma região onde temos campos magnéticos e elétricos variáveis no tempo. Isto induz o que
denominamos de oscilações em cavidades, cujo conceito será discutido a seguir.

      Pelas as equações de Maxwell, temos que campos elétricos variáveis no tempo induzem campos magnéticos e vice-versa. Dentro do capacitor Fig.A6.2, no processo de carregamento, o campo elétrico, E(t), é variável no tempo, pois as cargas elétricas nas placas estão aumentando ou diminuindo com o tempo. Isto implica que campos magnéticos dependentes do tempo são gerados no interior do capacitor. Assim, no processo de carga ou descarga do capacitor, temos um campo elétrico E₁(t) que gera um campo magnético B₁(t). Consequentemente, o novo B₁(t) vai induzir um outro campo elétrico E₂(t) que por sua vez gera um campo B₂(t) ... . Este processo continua indefinidamente, como esquematizada abaixo,

Desta forma o campo elétrico efetivo será uma soma (uma série) do tipo,

onde j é o número imaginário e E_o é a amplitude do campo.
        Usando a lei de Ampère podemos calcular o primeiro campo magnético B₁(t) produzido pela a variação de E₁(t), como a seguir,

    A integral no campo magnético é igual a 2p r B₁(t) como  conseqüência da lei de Ampère. Assim, temos que o campo induzido B₁ será da seguinte forma,

Como o campo magnético B₁(t) é variável no tempo, ele produzirá um campo elétrico E₂(t) o qual pode ser obtido usando a lei de Faraday, como a seguir,

    Após calcular E₂(t), usando a equação acima, voltamos à lei de Ampère para calcular o campo B₂(t) produzido por E₂(t). Tendo calculado B₂(t) usamos novamente a lei de Faraday para calcular E₃(t), e assim procedemos indefinidamente até gerar todos os termos da série.

    Finalmente, combinando todos os campos elétricos calculados, encontra-se a seguinte expressão matemática para o campo resultante,

onde c² = 1/m _{oÎ o} , isto é o quadrado da velocidade da luz e w é a freqüência angular da fonte externa. J_o é a função de Bessel de primeira espécie, a qual está representada na figura abaixo.

4- Aplicação
 

    A figura abaixo mostra uma cavidade eletromagnética cilíndrica de 5cm de diâmetro e 7cm de comprimento. O campo elétrico no interior é igual E = E_osen(5,772x10¹¹t), sendo E_o = 10⁴ V/m.

Calcule a taxa máxima da variação do campo elétrico em função do tempo; dE/dt = ?

Calcular o valor máximo do campo magnético nas proximidades da superfície.

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          Last Updated: Dec/12/2000
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