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Álgebra Vetorial, Diferencial de uma Função
Campos Escalares e Vetoriais
Operador Diferencial, Operações com
Teorema de Gauss, Teorema de Stokes

1- Álgebra Vetorial (Revisão)
 

    Nesta seção apresentaremos alguns das principais propriedades da álgebra vetorial com o objetivo de introduzir o conceito de operador diferencial vetorial.

    Considerando os vetores  do R³, podemos definir as seguintes operações:

- Produto escalar

Fig.A7-1  -Projeção do vetor A sobre B,

- Produto de um escalar por um vetor

Fig.A-2 - Ampliação de vetores

- Produto vetorial

Fig.A-3 - Produto vetorial

- Produto misto

  2- Diferencial de uma Função

    Em seguida, apresentamos algumas propriedades relacionadas a diferencial de funções, que serão usadas durante o curso.
    Seja f uma função da forma,

ou em termos de suas derivadas parciais,

.

- Derivadas de segunda ordem em f com relação à dois parâmetros independentes x e y

isto significa que, os dois operadores diferenciais em x e y comutam.
 

  3- Campos Escalares e Vetoriais
 

    Em física, é usual denominar-se por campo, uma grandeza dependente de um dado ponto no espaço e do tempo. Deste conceito define-se dois tipos de campos ; os escalares e os vetoriais.

-  Campos escalares : São os campos que em um dado ponto do espaço
      são descritos por um único escalar. São exemplos de campos escalares;
      a temperatura, o potencial elétrico, o potencial gravitacional,…

-  Campos vetoriais : São os campos que em um dado ponto do espaço são
       descritos por um conjunto de parâmetros ou n-uplas. Para representá-los
       por completo é necessário conhecer o seu módulo e a sua direção. São
       exemplos de campos vetoriais; o campo elétrico, o campo magnético, o
       campo gravitacional…
 

  4- Operador Diferencial (gradiente)

    Utilizaremos o conhecimento sobre temperatura e condução de calor para apresentar o operador diferencial, pela sua familiaridade.
    Seja uma superfície, cuja temperatura varia de um ponto para outro. Assumimos, por simplicidade, que ela decresça de um ponto A para o ponto B, no plano. Veja figura abaixo,

    Neste sentido, podemos dizer que existe um gradiente de temperatura de A para B. Sabemos, também, que a temperatura é um campo do tipo escalar. Mas, se existe gradiente de temperatura, isto é, se a temperatura varia de um ponto para outro, então, podemos falar de fluxo de calor. Fluxo de calor é uma grandeza vetorial, pois para especificá-lo devemos conhecer a sua intensidade (módulo) e a direção de propagação do calor.
     Todos os comentários apresentados nesta seção, continuam sendo válidos para qualquer campo escalar usado, em particular o potencial elétrico. Neste caso, se existe um gradiente de potencial ou diferença de potencial, entre os
pontos A e B, então deve existir um campo vetorial associado a isto. Este campo é o campo elétrico.
    Em resumo, podemos dizer que a um campo escalar tem sempre associado um campo vetorial. Vamos ver como estas relações funcionam na prática.

    Seja uma região do espaço onde a temperatura varia entre os pontos A e B. Assumimos, então que a temperatura seja função da posição no espaço R³. Isto é

Dessa forma a diferencial de T, ou a diferença de temperatura entre dois pontos é dada por,

ou

 Podemos, agora rescrever o DT incluindo Dr da seguinte forma;

    O resultado anterior mostra que a variação da temperatura pode ser escrita em termos do gradiente da temperatura . Isto implica que a partir de um campo escalar T=T(x, y, z) pode-se determinar o campo vetorial associado, isto é

    De forma semelhante, pode-se proceder para encontrar uma relação entre o potencial e o campo elétrico. Isto é

Temos, então, que o campo elétrico é proporcional ao gradiente do potencial.
 

  5- Operações com 

- Produto escalar (operador divergente)

- Produto de um escalar pelo operador diferencial (operador gradiente)

- Produto vetorial (operador rotacional)

- Produto misto

- Operador Laplaciano

6- Teorema de Gauss
 

    A seguir discutiremos sobre o teorema de Gauss o qual está relacionado com a divergência de campos vetoriais. Matematicamente, este teorema correlaciona uma integral de superfície fechada com a integral do volume que esta superfície
delimita.

    Por motivos didáticos, usaremos um cubo infinitesimal como sendo o volume de integração. Em seguida, analisaremos o fluxo de um dado campo vetorial C sobre esta superfície. C pode ser qualquer campo vetorial, como por exemplo; o campo h que representa o calor que flui através de uma área unitária em uma unidade de tempo, ou mesmo o próprio campo elétrico que flui através da mesma superfície. Em suma, queremos dizer que as demonstrações são válidas para qualquer tipo de campo vetorial.

    Consideremos o nosso cubo com arestas paralelas aos eixos ortogonais x, y e z, como mostra a figura abaixo.

    Assumindo que o cubo é infinitamente pequeno podemos dizer que, em primeira aproximação, uma variação no fluxo do campo pode ser escrito por;

    O fluxo resultante que atravessa a superfície do cubo pode ser determinado somando os fluxos sobre cada uma de suas faces, como a seguir.
 

- Fluxo que atravessa a face 1

- Fluxo que atravessa a face 2

onde C_x(1) e C_x(2) são os valores do campo na face 1 e 2 respectivamente. Como as faces 1 e 2 são perpendiculares ao eixo x, por definição, temos que o fluxo resultante na direção x será a igual a diferença de linhas de campos que entra em 1 com as que saem em 2. Veja Fig.A7-5.

No caso geral DC numa dada direção é diferente de zero. Então temos que,

Assim, o fluxo resultante na direção x (faces 1 e 2) será igual a,

    Substituindo na equação acima o valor de DC_x podemos rescrever a equação para o fluxo resultante nas faces 1 e 2 como a seguir.

- Fluxo resultante nas faces 1 e 2, perpendiculares à direção x

onde DV é o elemento de volume, no caso o volume infinitesimal do cubo. Consequentemente, os Df resultantes para as faces 3-4 e 5-6, isto é nas direções y e z respectivamente, podem ser obtidos por analogia ao caso anterior. Isto é :

- Fluxo resultante nas faces 3 e 4, perpendiculares à direção y

- Fluxo resultante nas faces 5 e 6, perpendiculares à direção z

    O fluxo total do campo passando pelo cubo será uma soma das contribuições dos fluxos que atravessam (entram e saem) em todas as suas faces 1-2, 3-4 e 5-6. Assim,

No caso de um volume infinitesimal, D V® 0, a equação acima pode ser rescrita da seguinte forma,

Para obter o fluxo total, resultante, sobre o cubo basta integrar a equação acima no volume delimitado pela superfície escolhida, isto é

    Por outro lado sabemos que o fluxo de qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada dS, pode ser escrito em função de dS, isto é,

Igualando as duas formas de calcular f , encontramos uma relação de suma importância entre uma integral de superfície fechada e uma integral no volume delimitado por esta superfície. Este resultado é conhecido como teorema de Gauss, o qual pode ser equacionado por,

ou numa outra notação por,

7- Teorema de Stokes
 

    A seguir discutiremos sobre o teorema de Stokes o qual está relacionado com o rotacional de campos vetoriais. Matematicamente, este teorema correlaciona uma integral de caminho fechado com a integral da área delimitada por este caminho.
    Por motivos didáticos, usaremos no estudo da circuitação um caminho quadrado infinitesimal. Em seguida, calcularemos a integral de um campo vetorial C neste circuito fechado. C pode ser qualquer campo vetorial, como por exemplo; o campo elétrico, o campo magnético, o campo das velocidades da teoria dos fluidos,… Em suma, queremos dizer que as demonstrações ou o teorema, se aplica para qualquer tipo de campo vetorial.

    Consideremos os nossos quadrados paralelos aos planos ortogonais (x,y), (x,z) e (y,z), como mostra a figura abaixo. Queremos agora encontrar a circuitação do campo C ao longo dos nossos pequenos quadrados. Será fácil calcular a integral de linha, se tomamos um quadrado suficientemente pequeno de forma que o vetor C não mude muito ao longo de qualquer lado do quadrado.

Figura A7-6 - Cicruitação do campo C sobre um caminho fechado

Seja a integral do campo C no caminho fechado, dado por,

No caso de um caminho infinitesimal esta expressão assume a forma,

Mas,

De forma análoga podemos construir os outros termos da soma acima. Assim,

Mas temos, por definição diferencial de uma função, que,

Substituindo estes resultados na equação para D w_z, ela assume a seguinte forma,

    O termo entre parêntese corresponde à componente z do rotacional do vetor C. De forma análoga podemos calcular as integrais de caminho para as direções x e y, as quais são mostradas a seguir.

A integral de circuitação total será a soma das circuitações nas direções x, y e z. Isto é,

No limite em que área delimitada pelos caminhos D A® 0 , D wassume a seguinte for diferencial,

Integrando ambos lados da equação acima, temos que;

Por outro lado sabemos que a integral de circuitação para qualquer campo em um caminho fechado é igual a;

    Igualando os dois resultados acima, encontramos uma relação de suma importância entre a integral de C em  caminho fechado e a integral do rotacional de  C  sobre uma superfície aberta delimitado pelo caminho fechado dl. Este resultado é conhecido como teorema de Stokes, o qual pode ser equacionado por,

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          Last Updated: Dec/12/2000
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