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Circuito RL
Energia Magnética em RL
Circuito LC
Energia em LC
 
 

1- Circuito RL

    A seguir discutiremos o comportamento de um circuito elétrico contendo dois elementos: um resistor e um indutor, como mostra a figura A4-1.

Figura A4-1 Circuito elétrico do tipo RL

    Para encontrar as equações matemáticas que descrevem o comportamento deste tipo de circuito elétrico, faremos uso das Lei de Kirchhoff.

As quais podem ser enunciadas por;

 - Lei dos Nós ou primeira lei de Kirchhoff:

    A soma algébrica das correntes que fluem para qualquer nó ou junção de condutores ou circuitos é zero. Esta lei refere-se à conservação da carga. Como conseqüência podemos dizer que a soma das correntes que fluem para dentro de qualquer ponto de junção no circuito é igual a soma das correntes que fluem para fora daquele ponto.

- Lei da Malhas ou segunda lei de Kirchhoff:

      A soma algébrica dos aumentos e quedas de tensão (potencial) através de qualquer malha fechada é zero. (Uma queda de tensão constitui um ganho negativo de tensão.) Esta lei é uma conseqüência da conservação da energia. Ela é simplesmente uma afirmação do fato de que o potencial elétrico pode ser estabelecido em qualquer ponto num circuito estacionário. Para um circuito fechado isto significa que,

    A aplicação destas leis se dá considerando que, em cada ramo, existe uma única corrente dotada de um certo sentido. Ao se aplicar a lei das malhas, ocorre uma queda de tensão, ao se percorrer o resistor no mesmo sentido daquele escolhido para a corrente, e um ganho de tensão ao atravessar uma fonte de fem do pólo negativo (-) para o positivo (+). Se na solução ocorrer uma solução negativa para a corrente, isso quer dizer que a corrente real flui no sentido oposto àquele que se supôs.

    Aplicando a segunda lei de Kirchhoff para os circuitos apresentados na figura A4-1 temos;
 
 

onde e₁ é a força eletromotriz induzida no circuito. Lembramos que todos os circuitos elétricos contêm uma indutância assim como uma resistência elétrica própria.

    A fem induzida e₁  pode ser escrita em função da variação fluxo magnético ou da corrente real no circuito.

Substituindo a equação (A4.2) em (A4.1) encontramos uma equação diferencial para a corrente no circuito em função do tempo. (A4.3) é uma equação do tipo homogênea.

Existem várias técnicas para resolver (A4.3), isto é, determinar i em função do tempo. A seguir discutiremos uma delas.

    Analisando a equação acima notamos que a função que descreve o comportamento da corrente i deve ser do tipo exponencial, pois a derivada dela é a própria função, a menos de constantes. Isto sugere-nos multiplicar ambos lados de (A4.3) por uma exponencial como a seguir;

                         (A4.4b)

Os dois termos do lado esquerdo da equação (A4.4b) podem ser agrupados como a seguir;

Integrando a equação acima temos que;

sendo A uma constante de integração, cujo valor pode ser determinado usando condições de contorno a partir de uma análise do circuito nos instantes iniciais. Neste caso assumimos que para o instante inicial, t = 0, a corrente no circuito é igual a zero. Isto implica no seguinte valor para a constante de integração A = -e_o/R.

    Substituindo na equação (A4.4) o valor encontrado para A temos que;

 onde i_ind refere-se à corrente induzida no circuito e t = L/R a constante tempo ou tempo característico do circuito.
    O gráfico da figura A4.2 mostra o comportamento da corrente em função do tempo dado pela equação (A4.7).

A corrente para t = t é igual a;

Isto significa que, a corrente do circuito é igual a 63% do valor máximo, quando t = t.

    Observando a equação (A4.7) temos o circuito terá inicialmente uma corrente variável no tempo por um período muito curto, já que a i_ind é proporcional a uma exponencial decrescente no tempo. Estes resultados levam-nos a afirmar que, mesmo que a fonte geradora de correntes num circuito elétrico é do tipo não variável no tempo, ela gera instantaneamente correntes
induzidas.

    A equação (A4.7) mostra-nos que a corrente será estabilizada para tempos relativamente grandes. Isto é, para t ® ¥ a  i circuito será constante. Veja o gráfico na Fig.A4-2, representando o comportamento i com o tempo.

    A força eletromotriz induzida pode ser determinada usando a equação A4.2,

ou

               ou              (A4.10)

isto mostra que a corrente induzida tende a zero para um tempo infinito, isto é

O gráfico (b) da fig.A4-2 mostra este comportamento.
 

2- Energia Magnética em RL

    O comportamento da energia magnética, criada no processo de indução, é armazenada no indutor. Procuremos responder algums questões básicas como,

    - Como esta energia se comporta ?
    - Ela é variável no tempo ou é uma constante ?
    - É possível encontrar uma equação matemática que descreva o seu
      comportamento, no caso do circuito RL ?

    Na equação (A4.3) o primeiro termo corresponde a energia no indutor, o segundo termo corresponde a energia irradiada e o termo do lado direito da igualdade é a energia cedida ao sistema por uma fonte externa. Multiplicando ambos lado de (A4.3) obtemos uma equação para a potência, isto é;

Por definição, a potência pode ser expressa em termos da taxa de variação da energia com o tempo, isto é

 Onde U_B é a energia magnética produzida pelo indutor.
 

3- Circuito LC

    A figura abaixo mostra um circuito do tipo LC. No circuito (a), colocamos a fonte em contato apenas com o capacitor para carregá-lo. Após o carregamento completo do capacitor, desligamos a chave do ponto A e ligamos no ponto B desconectando a fonte do circuito. Mesmo assim o capacitor permanece carregado.

     A ligação da chave no ponto B faz com que apareça uma corrente no circuito. Esta corrente passará pelo indutor criando consequentemente campos magnéticos. Isto significa que, parte da energia que estava armazenada no capacitor é transformada em energia magnética no indutor.

    A seguir, mostraremos que é possível encontrar uma equação que descreva o comportamento temporal das cargas e correntes no novo circuito.

   Existem vários métodos para resolver este problema. Um deles seria usar as leis de Kirchhoff como no caso anterior. Neste caso, diferentemente, determinaremos as equações para q e i usando a lei de conservação de energia, como a seguir.

    Sabemos que as energias armazenadas num capacitor e num indutor são respectivamente dadas por;

    Como o sistema é fechado e ideal, temos que a energia total (U_T) no circuito é uma constante. Como existem apenas dois elementos no circuito, podemos afirmar que a energia total, deve ser uma soma das energias elétrica (U_E) e magnética (U_B),
produzidas no capacitor e no indutor respectivamente. Assim temos que;

Derivando ambos lados da equação acima em função do tempo temos que;

ou de uma forma mais simplifica;

     A equação acima é uma equação diferencial de segunda ordem, incompleta e homogênea. Como no caso anterior, existem vários métodos de resolve-la. Analisando a equação diferencial acima notamos que a derivada segunda de q(t) é a própria função q(t), a menos de algumas constantes. Isto sugere, intuitivamente, que a que a solução desta equação diferencial deve ser uma função do tipo seno, cosseno ou combinações delas. Com base nisto assumimos que q(t) em função do tempo seja da forma;

onde A , w₁ e f são constantes a serem determinadas, usando condições adicionais.

    Inicialmente, como condição de contorno, assumimos que para o instante t = 0 a carga no capacitor é máxima, isto é q(t=0) = q_o =A e a fase f = 0.

    Substituindo esta equação para q(t) na equação diferencial acima, podemos facilmente verificar que q(t) é uma solução para (A4.16). Isto é;

                     (A4.19)

    Isto implica a constante w₁ pode ser determinada. Neste caso podemos dividir ambos lados da equação por Lq_ocos(w₁t + f ) o implica em;

Observamos com isto que w₁ deve ser a freqüência angular de oscilação do circuito.

        A freqüência angular depende apenas da indutância e capacitância do circuito LC. Como a carga do circuito é variável no tempo consequentemente a corrente será também dependente do tempo.

    Para verificar esta afirmação, basta derivar a equação (A4.17) em função de t. Isto é;

A figura abaixo são os gráficos para a corrente e a carga variando no tempo.

4- Energia em um Circuito LC

    A energia total do sistema é a soma das energias elétricas e magnéticas, isto é;

Substituindo (A4.20) e levando em conta que cos²(w₁t+f ) + sen²(w₁t+f ) = 1, temos que a energia total é realmente uma constante no tempo,

    A energia total é exatamente igual a energia cedida ao sistema, inicialmente, para carregar o capacitor. Analisando os nossos resultados obtidos, concluímos que o circuito LC é um circuito oscilante cuja freqüência natural é dada por w₁. w₁
depende apenas das características do indutor (L) e do capacitor (C). Como o circuito é ideal, isto é não tem resistência, ele oscilará indefinidamente.

    A figura abaixo esquematiza a evolução temporal de um circuito do tipo LC estudado aqui.

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          Last Updated: Dez/12/2000
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