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Lei de Gauss
Relação entre os campos elétrico e magnético
Lei de Biot-Savart
Lei de Faraday
Aplicação
 
 

1- Lei de Gauss (uma lei fundamental)

        Antes de introduzir a lei de Gauss definiremos o fluxo de um campo vetorial qualquer. Este campo vetorial poderia ser um campo elétrico, magnético ou mesmo o campo das velocidades na teoria dos fluídos.

        A intensidade de um campo vetorial pode ser medida em função do número de linhas de força deste campo ou o número de linhas que atravessa uma dada unidade de área. Definiremos o fluxo do campo F com sendo o produto de módulo de F pela área seccional perpendicular a direção do vetor F, como mostra a fig.1.

Fig.1 Fluxo de Campo Elétrico

            Podemos generalizar esta definição incluindo a possibilidade de que a linhas de força ou linhas de campo atravessam uma superfície que não seja perpendicular a direção do campo F. O campo F é um campo vetorial qualquer, como  por exemplo, o campo elétrico (E) e o campo magnético (B). Matematicamente esta definição pode ser representada por;

onde q é o ângulo entre o campo F e a norma a área A. Concretamente, esta direção normal a área nos fornece a orientação do vetor campo em relação à superfície.
            A ocorrência de produtos do tipo apresentado na eq.(1), envolvendo o módulo ou magnitude de dois vetores e o cosseno do ângulo entre estes vetores é bastante conhecido dos físicos e matemáticos. Ele é denominado correntemente como o produto escalar entre os dois vetores e é representado pelo símbolo . Algebricamente ele pode ser escrito em termos das compontes dos dois vetores, ou do ângulo entre eles, como a seguir;

        Usando a definição de produto escalar podemos reescrever a eq.(1) da seguinte forma;

Se o campo F é o campo elétrico (E), a eq.(2) fornece-nos o fluxo de campo elétrico através de uma superfície aberta A qualquer. Assim,

    Sabemos que, em geral, o campo elétrico não é constante e uniforme em uma dada região do espaço. Neste caso, para se calcular o fluxo total sobre a superfície A usa-se particionar A em áreas infinitesimais. Com isto, espera-se que os campos sejam uniformes nesta região infinitesimal. Tendo calculado o fluxo de E através desta área infinitesimal, podemos calcular o fluxo total somando todos os fluxos infinitesimais. Esta soma contínua é representada pela integral abaixo;

        A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica no interior da mesma. Assim podemos enunciá-la como:

        "O fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é proporcional à soma das cargas no interior desta superfície".

Lembre-se que, de acordo com a lei de Gauss, o fluxo elétrico calculado pela eq.(6) é fluxo somente devido as cargas internas à superfície fechada em consideração. Pode-se mostrar, facilmente, que o fluxo de E devido a qualquer carga externa à superfície S é nulo. Isto significa que o número de linhas de campos que entra na superfície é igual ao número de linhas que sai de S.
        A figura abaixo mostra algumas superfícies gaussinas envolvendo diferentes distribuições de cargas. Qual seria o fluxo de campo elétrico em cada uma das superfíces (S₁, S₂, S₃, e S₄) ?

Fig. 2  Fluxo de Campo Elétrico

Em particular, percebemos que fluxo de campo elétrico através da superfície S₄ é nulo devido ao fato de que a carga interna total a esta superfície ser também nula.

Como usar a Lei de Gauss ?
- A equação é válida sem restrições, mas em geral não é simples resolve-la

- É muito útil para determinar o Campo Elétrico, quando o sistema físico
     exibi alta simetria.

- Para resolver a equação acima e determinar E, é necessária uma certa
     habilidade para escolher a superfície fechada de forma a facilitar o cálculo
     da integral. As principais regras de escolha de S são;

- Orientação: a superfície tem que ser escolhida de forma que o vetor E e
     a normal à superfície sejam paralelos ou perpendiculares a cada ponto
     da mesma.

- Magnitude : a superfície deve ser escolhida de forma que E tenha o mesmo
    valor em todos pontos em que E é perpendicular a superfície.

        Mesmo tendo argumentado que devemos sempre escolher uma superfície gaussiana adequada devemos ter claro que a solução do problema independe da forma de S. Isto é justificado pelo fato de que o fluxo de qualquer campo vetorial deve ser independente da superfície fechada S, como mostra a simulação a seguir.

    Como a lei de Gauss é uma das leis fundamentais do eletromagnetismo, pode-se mostrar que um conjunto de outras leis podem ser derivadas dela. Um exemplo disto é a lei de Coulomb.

    Usando as regras para a escolha da superfície gaussiana, por simetria, somos intuído a escolher uma superfície gaussiana esférica com uma carga Q no seu centro. Neste caso temos:

- O campo elétrico E é normal a superfície em todos os pontos o que implica em

- O campo elétrico E tem os mesmo valor em cada ponto sobre a superfície. Assim,

e campo elétrico na superfície da esfera é igual a;

Na sua forma mais geral, isto é para qualquer ponto r fora da esfera temos;

Desta equação podemos determinar a força exercida sobre uma carga q na presença de do campo elétrico acima;

Esta relação entre q e E é conhecida como lei de Coulomb, onde r é a distância entre as duas cargas.
 

2- Relação entre os campos elétrico e magnético

Como vimos na aula anterior com a lei de Ampère podemos calcular o campo magnético produzido por uma corrente elétrico.

usando as relações para a velocidade da luz e constante dielétrica

podemos reescrever a equação para o campo magnético da seguinte forma;

Agora vamos encontrar algumas relações para a corrente;

onde l é densidade linear de carga. Substituindo os resultados anteriores na equação do campo magnético temos, que

O termo entre parêntese, nessa equação é exatamente o campo elétrico gerado por um fio carregado com densidade constante, isto é

Então comparando as duas equações anteriores, verificamos uma equação que correlaciona campos magnéticos com campos elétricos;

a qual assume a forma vetorial

3- Lei de Biot-Savart

    A seguir introduziremos a lei de Biot-Savart. Para istoanalisaremos os efeitos produzidos por uma corrente elétrica , como mostra a figura abaixo.

O campo elétrico criado por uma carga infinitesimal é dada por

Usando a equação que conecta os campos magnético e elétrico temos que

ou

cuja forma integral é

esta equação é conhecida como lei de Biot-Savart.
 

4- Lei de Faraday (uma lei fundamental)

    A seguir discutiremos os conceitos básicos relacionados a leid e Micahel Faraday.

A força eletromotriz induzida (fem) em um circuito fechado é determinada pela taxa de variação do fluxo magnético que atravessa o circuito. Esta lei é representada matematicamente pela equação;

onde F _B é fluxo magnético dado por;

sendo S a superfície por onde flui o campo magnético. Sabendo que a forca eletromotriz pode ser expressa em função do campo elétrico temos que;

    O sinal negativo que aparece na equação acima lembra-nos em qual direção a fem induzida age. O experimento mostra que:

    A fem induzida produz uma corrente cujo sentido cria  um campo magnético cujo sentido se opõe a variação do fluxo magnético original. Este fenômeno é conhecido como lei de Lenz.

    A lei de Lenz é a garantia de que a energia do sistema se conserva. Isto significa que a direção da corrente induzida tem que ser tal que o campo magnético por ela induzido se oponha as mudanças ocorridas no sistema.  Caso contrário a lei de conservação de energia seria violada.

    Calcular o campo magnético num ponto P sobre um eixo que passa pelo o centro de uma espira percorrida por uma corrente.

Por simetria temos que o campo na direção y deve ser nulo. Assim apenas a componente x não é nula;

Pela a lei de Biot-Savart temos que;

ou em módulo

cuja componente resultante (direção x) é igual a

mas

Podemos fazer também uma análise para alguns pontos extremos tais  como,   x = 0    e    x >> R.
 
 

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          Last Updated: Dez/12/98
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