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Campo Magnético e a Força de Lorentz
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Força Magnética sobre uma corrente elétrica
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Trajetória de uma carga num campo magnético uniforme
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Lei de Ampère na forma integral
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Aplicações
1-Campo Magnético e a Força de Lorentz
Vimos em aulas anteriores que duas cargas em repouso interagem entre si produzindo uma força. Esta força de interação é dada pela lei de Coulomb:
(1)
Quando ambas as cargas se movem em nosso sistema de referência com velocidades v, como mostra a fig.1, observa-se experimentalmente que a força agindo em ambas cargas é reduzida de um fator que depende da velocidade das partículas. Veja a simulação na fig. 1.
Fig. 1 - Interação magnética entre cargas
elétricas em movimento
A força resultante assume a seguinte forma;
(2)
onde c é a velocidade da luz. Esta componente dependente da velocidade é chamada de força magnética (Fm). Assim, a força resultante é composta de duas forças: uma eletrostática (Fe) e a outra magnética (Fm). Observe que Fm só existirá enquanto as partículas estiverem em movimento.
(3)
Por outro lado, sabemos que cargas em movimento induzem correntes elétricas.
Isto leva-nos a concluir que as correntes elétricas também
interagem entre si. Será que podemos definir,
equivalentemente, uma força de interação entre correntes
elétricas ? Responderemos esta questão nas próximas
seções.
Nos parece então, ser bastante conveniente introduzir um novo campo,
o qual será denominado de campo magnético
e sombolizado pela letra B.
Este campo é produzido, então, por cargas elétricas
em movimento. No sistema de unidades internacionais (SI) a unidade
de campo magnético é denominada tesla
(T). Desta forma a segunda carga, na fig.1,
interagirá com o campo produzido pela primeira e assim ela experimentará
uma força a qual denominamos de força magnética Fm.
No sentido de descrever a força Fm,
devemos primeiramente definir o campo magnético por
(4)
Consequentemente, o campo B criado pela carga 1 em movimento, em um dado ponto do espaço, será igual a
(6)
Substituindo a equação (5) em (6) voltamos a nossa definição
de campo magnético como apresentada na equação (3).
Alternativamente,
poderíamos também, introduzir o fator 1/c2 inteiramente na
expressão do campo magnético, isto é;
(7)
Assim, a força magnética seria redefina por
(8)
cuja expressão na forma vetorial é dada por
(9)
A força magnética, denominada algumas vezes de força de Lorentz, é portanto um vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores v e B.
Nesta simulação o campo magnético é uniforme e tem o sentido do observador para a tela. Lembramos também que módulo da força magnética sobre a partícula é dado por
F = q v B sen(q)
|
Fig.2 - Força de Lorentz
2-Força Magnética sobre uma corrente elétrica
Fig.3 - Interação entre correntes e campo magnético
Onde vd é a velocidade média de deslocamento dos elétrons, B o campo magnético. No limite em que temos que a equação anterior pode ser escrita na seguinte forma diferencial
dF = dq vd Bsen(q )= i dl Bsen(q )
e na forma vetorial
3-Trajetória de uma carga num campo magnético uniforme
Nesta seção discutiremos o funcionamento do ciclotron. O ciclotron é utilizado para acelerar ions (positivos ou negativos) até atingir velocidades próximas a velocidade c da luz.
Na simulação abaixo, podemos observar duas regiões distintas; uma contendo um campo elétrico (E) variável no tempo e outra contendo um campo magnético B constante e uniforme. O campo elétrico tem a função de acelerar a partícula e o campo magnético de fazer com o ion volte novamente à região contendo campo elétrico, onde a partícula será novamente acelerada, no sentido do seu movimento. Assim, toda a vez que o ion passar pela região de campo elétrico (E) a sua velocidade aumentará e consequentemente ela ganhará energia cinética. Para que isto ocorra é necessário ter uma sincronia entre o tempo gasto para o elétron percorrer um semi-círculo no interior do campo magnético (B) e a inversão do sentido do campo elétrico. A seguir discutiremos este processo.
Sabemos da mecânica que:
A velocidade angular (constante) |
|
Força Centrípeta |
|
Raio de Curvatura |
|
A freqüência de ciclotron é dada por |
|
No caso do ciclotron,
o campo elétrico aplicado na partícula é gerado por
uma diferença de potencial da
forma V = Vo sen(w
t). Isto garante que o elétron seja acelarado toda vez que
mudar, no solenóide, do plano superiorpara
o inferior
e vice-versa. Ele seráacelarado
por uma força elétrica igual F = q E, onde E é o campo
elétrico.
Estes resultados podem
explicar também outros fenômenos tais como, penetração
de raios cósmicos na atmosfera,
o espectrômetro de massa, as lentes magnéticas e os espelhosmagnéticos.
4-Lei
de Ampère na forma integral
Sabemos que o campo magético pode ser expresso em função da corrente elétrica por;
onde c é a velocidade da luz a qual pode ser expressa por
com mo = permeabilidade magnética e eo = permissividade elétrica. Assim podemos reescrever a equação do campo magnético da seguinte forma;
ou
Fig.5 - Correntes induzidas por campos magnéticos
Numa forma mais geral a equação anterior pode ser reescrita por;
ou ainda
como as cargas variáveis no tempo
geram campos elétricos variáveis no tempo então podemos
dizer, a partir desta relação,
que deve existir uma conexão entre os campos elétricos e
magnéticos.
5-
Aplicações
a- Campo Magnético
no interior e exterior de um condutor
cilíndrico percorrido por
uma corrente uniforme
Fig.6 - Campos magnéticos induzidos por correntes elétricas
Usando a lei de Ampère temos que
sendo a corrente uniforme temos que a densidade de corrente pode ser expressa por;
Usando as equações acima podemos então, calcular o campo magnético no interior do condutor,
r < R
Para qualquer ponto fora da esfera o campo tem forma
b- Interação entre dois fios condutores percorridos por correntes elétricas.
A força que um fio percorrido por ia exerce sobre o outro é dado por
mas o campo magnético criado por um dos fios é igual a;
substituindo esta equação na equação da força temos que,
a qual é função apenas
das correntes que percorrem os dois fios.
c- Campo magnético no interior de um solenóide infinito
Fig.9 - Campo magnético no interior de um solenoide
A figura acima representa um solenóide composto por infinitas espiras percorridas por um corrente constante io. O campo magnético no interior do solenóide pode ser determinado usando a lei de Ampére;
Para resolver a integral da lei de Ampére devemos definir um caminho num circuito fechado. Em geral escolhe-seo caminho que venha facilitar a integração da equação acima. Neste caso escolhemos, por conveniência matemática, o circuito (abcd) representado, na figura acima,em cores vermelha.
Dessa forma a integral de caminho fechado pode ser decomposta a soma de quatro intervalos a-b, b-c, c-d e d-a,da seguinte forma;
Assumindo, por argumentos físicos, que o campo magnético fora do solenóide é nulo temos que a terceira integral deve ser nula, pois B=0 em todos os pontos.
As integrais nos caminhos (b-c) e (d-a), isto é a segunda e a quarta integral, devem ser iguais a zero pois B e dl são dois vetores perpendiculares, assim o produto escalar é nulo.
Assim temos que
Assumindo que a corrente total i = Nio = nhio e sendo n =N/h a densidade de espira temos que o campo magnético resultante será igual a;
B = mo n io
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