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- 15.1 - Revisão Matemática
 

    Analisaremos a seguir dois métodos diferentes para somar funções trigonométricas do tipo

a)- Método direto

    O método direto consiste na soma algébrica das funções trigonométricas.

Aplicando a regra que determina as relações para funções trigonométricas envolvendo soma nos argumentos, temos que

b)- -Representação vetorial

    Nesta seção mostraremos que é possível usar propriedades vetoriais para descrever a soma de funções trigonométricas, como às apresentadas na seção anterior. Para isto faremos uso de um conjunto de vetores, como mostram as figuras 15.1 (a) e (b).

    Podemos somar os vetores E₁, E₂, ... como a seguir;
 

                                                                                             (15.2)

   A soma das funções trigonométricas apresentada na equação (15.1) pode ser feita usando a soma de vetores acima. Para isto, basta levar em conta as projeções, nos eixos x e y, de cada vetor E_i. Para exemplificar tomemos um caso simples da soma de duas funções do tipo     E₁cos(wt+a₁)    e    E₂cos(wt+a₂). Seja também que

Analisaremos a soma das componentes x de dois vetores criados usando estas informações. Isto é,

Queremos obter a seguinte relação

 Da relação (15.2) podemos calcular o campo resultante por,

cujo produto escalar de E é dado por,

Assim temos que,

Com isto, podemos calcular o valor do ângulo resultante a , como a seguir.

Destas relações obtemos que

Para o nosso caso particular a tangente acima assume o valor a seguir,

- 15.2 - Intensidade Luminosa

    Vimos, nas aulas anteriores, que a luz (onda-eletromagnética) transporta energia e que esta energia pode ser expressa em termos dos campos elétricos e magnéticos. Isto é, Energia µ E² e  B². A intensidade luminosa, produzida por uma onda eletromagnética, é proporcional ao valor desta energia. Sabemos também os campos magnéticos contribuem muito pouco para a energia total, quando comparamos com a contribuição campo elétrico. Neste caso, a intensidade luminosa (I) será proporcional ao quadrado do campo E médio, pois E é oscilante. Assim,

Então, seja o campo E = E_ocos(w t-kx+j ), onde w = 2p /T e a = 2p /l , sendo T o período e l o comprimento de onda.  O valor médio do campo pode ser calculado da seguinte forma,

A integral acima pode ser resolvida por,

Onde temos usado a relação trigonométrica;

Com isto temos que a integral para o campo quadrático médio será igual a;

Para t_o pequeno, temos que o segundo termo da integral acima se anula. Então,

- 15.3 - Interferência de Ondas Esféricas em Fendas Duplas

    Quando ondas idênticas (a menos de uma diferença de fase) provenientes de duas fontes superpõem-se em um ponto do espaço, a intensidade resultante das ondas que se combinam naquele ponto pode ser maior ou menor do que a intensidade de cada uma delas. Este efeito é chamado interferência. A interferência pode ser construtiva ou destrutiva, quando a intensidade resultante é maior ou menor respectivamente que as intensidades individuais.

    Embora qualquer número de ondas possa em princípio interferir, consideramos aqui a interferência de duas ondas somente. Supomos que a fonte de cada uma delas emite em um único comprimento de onda. Supomos também que a relação entre as fases das ondas não varia com o tempo. Tais ondas são denominadas coerentes. Quando ondas coerentes interferem, a intensidade da onda combinada em qualquer ponto do espaço não varia com o tempo. A coerência é uma condição necessária para que ocorra interferência.

        Usando os resultados obtidos para a soma de funções trigonométricas, podemos calcular o campo resultante (E) no ponto P, como a seguir.

Assumiremos que as duas ondas eletromagnéticas foram geradas por fontes idênticas, isto significa que E_o,1 = E_o,2 . Assim,

onde temos usado a relação trigonométrica

Neste caso, E_q será máximo quando o cosseno acima for igual a um. Isto implica que E²_máximo= 4 E_o² .

        Sabem também que a intensidade I é proporcional ao quadrado do campo elétrico, isto implica que a razão dos quadrados das ondas pode ser expressa como a razão dos quadrados das amplitudes de seus campos elétricos. Se I_q é a intensidade da onda resultante em P, e I_o é a intensidade que cada onda sozinha produziria. Então,

ou

onde

        A expressão para I_q representa a intensidade luminosa no ponto P em função da diferença do caminho ótico e das fases em cada fonte. I_q é composta pelos dois campos elétricos que atingem aquele ponto.
        Os termos (r₁ – r₂) e (j₁ – j₂) são respectivamente a diferença de caminho percorrido pelas duas ondas e a diferença de fase com que elas foram geradas. Notamos, na Fig.15.2, que a diferença de caminho pode ser definida em função da  distância entre as fendas por, d sen(q ) = (r₁ – r₂) .

    Na Fig15.2 um trem de ondas luminosas planas, como o que pode ser obtidos por um laser, incide sobre as duas fendas estreitas. Porções de cada frente de onda incidente passam através das fendas, e assim as fendas podem ser consideradas como duas fontes coerentes de ondas luminosas. O espalhamento da luz ao passar através das fendas, ilustrado na Fig. 15.2, é chamado difração. Assumiremos que estas fendas são estreitas e podem emitir ondas esféricas de Huygens, de acordo com o que temos discutidos em seções anteriores. Note que as duas ondas podem sobrepor-se e interferir quando atingem a tela.  para simplificar a análise, supomos que a distância D entre as fendas e a tela seja muito maior do que a separação d entre as fendas.

    De acordo com a equação obtida para I_q , vemos que será formada uma série de bandas claras e escuras, ou franjas de interferência, correspondentes respectivamente aos máximos e mínimos na intensidade da luz. Veja na Fig.15.3 o espectro de interferência para o caso de duas fendas retangulares.

        Para analisar a figura de interferência, consideremos as ondas provenientes de cada fenda que se combinam em um ponto P arbitrário da tela C na Fig.15.2, respectivamente. Alinha F₂b é traçada de modo que as linhas PF₂ e Pb tenham  comprimentos iguais. Se d, a separação entre as fendas, é muito menor do que a distância D entre as fendas e a tela, F₂b é então quase perpendicular a r₁ e r₂. Isso significa que o ângulo F₁F₂b é quase igual ao ângulo PaO, ambos sendo assinalados por q na figura. Da mesma forma, as linhas r₁ e r₂ poderão ser consideradas como aproximadamente paralelas.

    Os dois raios que chegam em P na Fig.15.2, provenientes de F₁ e F₂, estão em fase nas fendas; ambos são oriundos da mesma frente de onda plana incidente. Os raios chegam em P com diferença de fase porque percorrem caminhos óticos diferentes. O número de comprimentos de onda contido na diferença de caminho F₂b determina o tipo de interferência em P, isto é se a interferência é construtiva ou destrutiva.

Para que ocorra interferência construtiva ou franjas claras no ponto P da tela é necessário que;

onde n é um número inteiro, n = 0,1,2,…

Para que ocorra interferência destrutiva ou franjas escuras é necessário que;

Para o caso de fontes luminosas idênticas temos que j₁ = j₂ , isto é, as fontes estão em fase. Com isto, a interferência luminosa no ponto P do anteparo será função apenas da diferença de caminho ótico ou caminho percorrido pelas duas ondas.

Para interferência construtiva tem-se que,

Para interferência destrutiva tem-se que,

onde n é um número inteiro, n = 0,1,2,…A partir das equações acima podemos localizar a posição no anteparo (tela) onde ocorre os pontos de máximos e mínimos. Isto é,

Da Fig.15.2 tiramos que

No caso em que q é pequeno tg(q ) » sen(q ), daí tiramos que;

onde y é uma posição no anteparo ou tela. Para determinar os pontos de interferência construtiva e destrutiva fazemos,

sendo n = 0, 1, 2,... . A intensidade luminosa pode ser escrita também em função de y,

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          Last Updated: Dec/12/2000
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