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Aula-14
Imagens Formada por Refração
Lentes Delgadas
Ampliação Transversal
14.1 Imagens
Formada por Refração
A formação de
imagem por refração em uma superfície que separa dois
meios, com os índices de refração n1 e
n2, está ilustrada na figura 14.1. Nesta figura, n2
é maior que n1, e então as ondas se propagam mais
lentamente no segundo meio. Neste caso, também, somente os raios
paraxiais convergem para um ponto.
Uma relação que mostra a dependência
entre a distância da imagem, a distância do objeto, o raio
de curvatura e os índices de refração, pode ser deduzida
pela aplicação da lei de Snell à refração
dos raios, com a adoção da aproximação dos
ângulos pequenos. A geometria do problema é apresentada na
figura 14.1. Em nossas aplicações assumiremos que a superfície
de contato entre os meios 1 e 2 é esférica, com raio de curvatura
r.
Fig. 14.1 Formação de imagem por refração
Da figura 14.1 tiramos as seguintes relação angulares,
(14.1)
(14.2)
Aplicando a lei de Snell no ponto A temos que;
(14.3)
O estudo da imagem formada pela refração será feito
usando a aproximação dos ângulos pequenos. Neste caso
a»
0,
isto implica que os ângulos q 1
,q 2 , b
e g são também pequenos.
sen q 1 »q1 e sen q2 »q2 (14.4)
substituindo a equação 14.4 em 14.3 obtemos
Substituindo a expressão para q 2 na equação 14.2 obtemos
(14.5)
Multiplicando ambos lados da equação (14.5) por n2 temos;
(14.6)
Como o ângulo a é pequeno ( a» 0 ) temos que as distâncias AV e AV’ são aproximadamente iguais. Isto implica que
(14.7)
Substituindo as relações obtidas em 14.7 na equação (14.6) encontramos que,
Eliminando o termo AV’ na equação acima obtemos
(14.8)
Esta equação correlaciona as distâncias objeto (o), imagem (i) e o raio de curvatura da superfície (r). Ela é denominada por equação para um diótrico. O diótrico é um sistema composto por dois meios, com índices de refração distintos, sendo que a superfície de contato entre os dois meios é curva. Nesta seção assumiremos que a superfície de contato é esférica e com raio de curvatura r.
Na refração,
as imagens se formam atrás da superfície refratora ou de
contato, no lado que se chama da transmissão (espaço-imagem),
enquanto as imagens virtuais ocorrem no lado da luz incidente (espaço-objeto),
na frente da superfície. As convenções de sinais que
se usam na refração são semelhantes às que
ocorrem na reflexão.
| Objeto |
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||
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|
|
|
Se
compararmos estas convenções de sinais com as da reflexão,
veremos que i é positivo e a imagem é real quando a imagem
estiver no lado da superfície atravessado pela luz refletida ou
refratada. Analogamente, r e f são positivos quando o centro de
curvatura estiver no lado atravessado pela luz refletida ou refratada.
Uma outra forma de determinar os sinais de o e i é verificando se
eles são formados por raios reais ou virtuais. Se são formados
por raios reais são sempre positivos e serão sempre negativos
se são formados por raios virtuais.
14.1a - Aplicação : Imagem formada por refração
Suponha um diótrico esférico (convexo) com raio de curvatura igual a 15,0 cm separando dois meios, com índices de refração n1 = 1,0 e n2 = 2,0 respectivamente. Determinar a posição da imagem, supondo o objeto localizado a 30,0 cm à esquerda do vértice na superfície de contato.
Neste caso
Isto é o objeto está localizado a 60 centímetros
da superfície de contato.
A aplicação mais importante da equação (14.8) é a de determinar a posição da imagem de um objeto formado por uma lente. Ë o que se faz analisando, separadamente, a refração em cada superfície de contado da figura 14.2, a fim de deduzir uma equação que relacione a distância da imagem à distancia do objeto, ao raio de curvatura de cada superfície da lente e ao índice de refração da lente.
Aplicando nas faces 1 e 2 a equação (14.8) para o diótrico esférico obtemos a seguintes relações, respectivamente,
d é a distância entre os vértices nas faces 1 e
2, ou espessura da lente. Para o caso de lentes delgadas ou finas (d »
0) temos
que
(14.9)
Somando a primeira equação de 14.8 com a equação 14.9, temos que
Dividindo ambos lados da equação pelo índice de refração n1 obtemos,
(14.20)
Com este resultado a equação 14.20 pode ser rescrita por
(14.21)
Para o caso em que a lente com índice de refração n2 = n é colocada em contato com o ar ou o vácuo (n1 = 1), a equação acima pode ser escrita por
a qual é conhecida com equação dos fabricantes. Ela é usada, pelos os fabricantes de lentes, para calcular a distância focal de lentes delgadas.
Devemos lembrar que como uma lente é formada por dois lados com raios r1 e r2, ela tem consequentemente dois pontos focais, f1 e f2. As convenções de sinais para a equação 14.20 são as mesmas dos espelhos e dos diótricos isolados.
O parâmetro mais importante no caso de lentes delgadas é o ponto focal f. No caso de lentes convergentes, o ponto focal f pode ser encontrado facilmente usando a imagem (foco de luz) formada pela luz solar ao atravessar a lente. Conhecendo f e as características do objeto, todas informações sobre a imagem podem ser determinadas, usando as equações para lentes discutidas acima.
A figura 14.3 mostra o conjunto dos principais raios para se determinar a imagem de um dado objeto.
Fig.14-3
A figura 14.4 mostra um conjunto de tipos de lentes convexas e côncavas. As lentes convexas são do tipo convergentes e as côncavas divergente. As convergentes têm ponto focal f positivo (+) e as divergentes ponto focal negativo (-).
A figura 14.5 mostra imagens formadas por lentes convergentes (a) e divergentes (b).
14.2a- Aplicação :
Lentes delgadas
Uma lente delgada e esférica tem duas superfícies convexas (bi-convexa) de raios r1 = 1,20 cm e r2 = -0,80 cm é colocada em contato como o ar. Seu índice de refração é n = 1,50. Determine uma de suas distâncias focais para o caso de um objeto colocado a 2,00 m à esquerda do centro da lente. Usando a equação dos fabricantes obtemos que,
De acordo com as convenções, uma distância focal positiva indica que o foco está no lado real da lente e o feixe luminoso incidente de raios paralelos converge após a refração, para formar uma imagem real. Então, podemos dizer que esta lente é do tipo convergente.
A posição da imagem é dada pela equação 14.21, isto é
Como i é positivo a imagem é real. Você pode verificar esta afirmação na simulação abaixo. Use o botão esquerdo do mouse para movimentar o objeto (seta vermelha). Observe que simultaneamente o simulador resolve a equação dos fabricantes (eq.14.21) para calcular a posição da imagem (seta verde) formada por uma lente convergente.
Verifique, usando a equação 14.21, sob que condição estas lentes formam imagem virtuais. Logo em seguida cheque os seus resultados no simulador abaixo.
Vimos acima que além das lentes convergentes temos as divergentes. Todas elas obedecem
as mesmas regras estabelecidas no caso do fenômeno reflexão. Veja a seguir uma simulação
para este para lentes divergentes.
Verifique se as lentes divergentes podem formar imagens reais.
Veja simulação : Imagem formada por lentes Divergentes
Podemos conseguir uma expressão para ampliação de uma imagem formada por uma superfície refratora, considerando a figura 14.6, que mostra um raio que passa pelo topo do objeto e pelo topo da imagem. O raio refratado se desvia para a normal, ao passar pela superfície, neste caso q2 é menor que q 1. Como estes ângulos estão relacionados pela lei de Snell, n1 sen q1 = n2 sen q2, as distâncias do objeto e da imagem estão relacionadas pelas seguintes equações geométricas,
Sendo q1 = q2 temos que
(14.21)onde m é a ampliação transversal. Se m é negativo então a imagem é invertida com relação ao objeto.
Fig.14-6 Ampliação transversal
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Last Updated: Dec/12/2000
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