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13.1 Espelhos Planos
 

            Estudamos em seções anteriores os fenômenos de reflexão e refração. Quando um feixe de luz toca na superfície de um dado objeto, parte da luz é refletida. O resto é algumas vezes absorvida e transformada em energia térmica ou se o objeto é transparente, como por exemplo vidros ou água, parte do feixe é transmitido passando pelo material.
            No caso de objetos muito brilhantes, como a prata por exemplo, a reflexão atinge a 98% de intensidade luminosa incidente. Vimos também, que para o caso de reflexão o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Quando a luz é incidente sobre uma superfície rugosa, mesmo que seja microscopicamente rugosa, como a página de um livro, ela é refletida em várias direções. Este fenômeno é conhecido como reflexão difusa. A lei da reflexão continua valendo, mas para cada porção microscópica da superfície. Devido a reflexão difusa em todas as direções, um dado objeto pode ser visto em diferentes ângulos. Quando movemos para o lado, diferentes raios refletidos atingirão nossos olhos, a partir de cada ponto do objeto. Veja por exemplo figura 13.1(a). Contrariamente, no caso de reflexão em superfícies polidas, os raios refletidos são vistos em um único ponto, como mostra a figura 13.1(b). Este fenômeno é conhecido como reflexão especular. Contrariamente ao caso da reflexão difusa, quando um feixe de luz, composto por raios paralelos muito próximos, é refletidos em uma superfície polida, só poderão ser vistos por um observador em um ponto muito particular do espaço, como mostra a figura 13.1(b).

Fig. 13.1 - Superfície rugosa (a) e polida (b)

            Quando olhamos diretamente em um espelho, vemos nossa face assim como vários objetos em nosso entorno. A nossa face como os outros objetos parecem-nos como se eles estivessem exatamente em nossa frente. O que vemos no espelho é que denominamos de imagem de um objeto. A figura 13.2 mostra com uma imagem é formada por espelhos planos, usando o modelo de raios. Para cada ponto do objeto, existe ponto correspondente na imagem. Concentremos em dois raios particulares, na figura 13.2, que partem do ponto A no objeto e atingem o espelho nos pontos B e B₁, Os ângulos ADB e CDB são ângulos retos; e os ângulos ABD e CBD são iguais pelas leis da reflexão. Entretanto, os triângulos ABD e CBD são congruentes, e os comprimentos AD = o e CD = i são consequentemente iguais. Dessa forma a imagem aparecerá atrás do espelho à mesma distância que o objeto está com relação ao espelho. Isto é, a distância da imagem ao espelho é igual a distância do objeto ao espelho. Geometricamente, podemos mostrar também que a imagem e o objeto têm as mesmas dimensões.

Fig.13.2 - Formação de imagem em espelhos planos.

Usando relações trigonométricas encontramos que

            Os raios de luz não passam realmente pelo ponto onde a imagem está localizada. Isto significa que não seria formada qualquer imagem em um filme fotográfico colocado no ponto C atrás do espelho. Por isto dizemos que a imagem formada por espelhos planos são chamadas de imagem virtual. Veremos nas próximas seções que espelhos curvos e lentes podem formar imagens reais. Por exemplo as lentes de um projetor de filmes formam na tela uma imagem real. Neste caso se colocamos um filme fotográfico no lugar na tela podemos gravar a imagem produzida pela fonte de luz. No caso das imagens virtuais dizemos que elas são formadas pelos prolongamentos dos raios reais.
            A figura 13.3 mostra a imagem vista por um observador após reflexão em um espelho plano. Devido ao diâmetro finito da pupila, apenas raios bem próximos podem penetrar no olho após a reflexão. Para a posição do olho mostrada na figura 13.3, apenas uma pequena região do espelho, próxima ao ponto P, contribui efetivamente, para a formação da imagem no olho do observador. O resto do espelho pode ser coberto ou removido. Se o olho se mover para outra posição, uma região diferente do espelho será efetiva. A localização da imagem virtual, entretanto, permanecerá inalterada, desde que o objeto permaneça fixo.

Fig. 13.3 - Campo de visão em um espelho plano.

            Se o objeto for uma fonte extensa, como a cabeça de uma pessoa, também será formada uma imagem virtual. Para cada ponto do objeto será criado um ponto imagem equivalente atrás do espelho. De acordo com a lei de reflexão para espelhos planos, a distância com relação ao espelho de cada ponto do objeto será igual a distância do seu ponto imagem ao espelho.
A imagem refletida em um espelho plano tem o seu lado direito trocado com o esquerdo, isto é existe uma inversão direita-esquerda.

13.2- Espelhos Esféricos
 

            Superfície refletoras não necessariamente devem ser planas. Os espelhos curvos mais comuns são os esféricos, o que significa que a sua superfície refletora tem a forma esférica. Um espelho esférico é denominado de convexo se a reflexão ocorre na superfície externa como mostra a Fig 13.4. Um espelho é denominado de côncavo se a superfície refletora é a superfície interna da esfera. Espelhos côncavos são usados geralmente para ampliar imagens, enquanto os convexos são usados para aumentar o campo de visão.
            Para os espelhos curvos podemos definir os conceitos de lados virtual e real. O lado real é o lado da esfera que contém a superfície espelhada e o lado oposto é o lado virtual. Todas imagens formadas no lado real são do tipo real e as formadas no lado virtual são do tipo virtual. Lembramos que as imagens virtuais não podem ser registradas em filmes fotográficos, pois elas não são formadas por raios reais.
            Para ver como os espelhos esféricos formam imagens, considere inicialmente um objeto muito afastado do espelho. Neste caso os raios provenientes de cada ponto do objeto chegam no espelho praticamente paralelos. O sol e as estrelas são exemplos de fontes de luz ou objetos infinitamente afastados.

Fig.13.4 - Raios paralelos criados por um objeto no infinito.

            Consideremos, agora, os raios paralelos de um objeto ou fonte de luz infinitamente afastado sendo refletido por um espelho do tipo côncavo, como mostra a figura 13.4. A lei da reflexão se aplica para cada raio de luz incidente. Como pode ser observado nem todos os raios refletidos passam pelo mesmo ponto. No sentido de se ter uma imagem nítida os raios refletidos devem convergir para um único ponto. Dessa forma os espelhos esféricos não formarão imagens nítidas como nos espelhos planos. Contudo, se o espelho é pequeno comparado com o seu raio de curvatura, os ângulos dos raios refletidos serão também pequenos. Com isto eles convergirão para um único ponto, o qual é denominado por ponto focal ou simplesmente foco (f) do espelho. Em nosso exemplo os raios são paralelos ao eixo principal, o qual é definido como a linha reta perpendicular a superfície esférica. Consequentemente este eixo passará pelo centro da superfície esférica (c), assim como o ponto focal do espelho. A distância entre o foco e o espelho é denominada de distância focal. Uma outra forma de definir a distância focal é dizer que ela é ponto onde a imagem de raios paralelos será formada.
            A seguir vamos encontrar expressões matemáticas que correlacionem as distâncias, do objeto, da imagem e do foco. Para isto usaremos a lei para a reflexão de raios luminosos e algumas relações trigonométricas obtidas da figura 13.5.
            Observando a figura 13.5 notamos que o raio proveniente do ponto objeto (O), que faz um ângulo arbitrário a com o eixo principal passa pelo ponto I, após reflexão no espelho em A. Um raio que sai de O, seguindo o eixo principal, será refletido de volta sobre si mesmo. Isto é uma conseqüência da lei de reflexão. Então, para estes raios, pelo menos, I é a imagem de O e é uma imagem real, porque a energia luminosa passa efetivamente por I. Procuremos a posição de I.

Fig. 13.5 - Formação de imagem por espelhos curvos.

    Usando o teorema para os ângulos externos de um triângulo, temos que a o ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes. Dai, tiramos que

Eliminando q entre as equações acima, encontramos que 

.                                                          (13.1)

No caso em os ângulos a , b e g são pequenos podemos encontrar a seguintes relações trigonométricas,
 

                                  (13.2)

  Das equações 13.1 e 13.2 obtemos

                                             (13.3)

      o       + se o objeto estiver em frente do espelho (objeto real)
                 - se o objeto estiver atrás do espelho (objeto virtual)

      i        + se a imagem estiver na frente do espelho (imagem real)
                 - se a imagem estiver atrás do espelho (imagem virtual)

     r, f     + se o centro de curvatura estiver em frente do espelho (espelho côncavo)
                 - se o centro de curvatura estiver atrás do espelho (espelho convexo)

Podemos dizer também que,

    No caso de espelhos côncavos temos que  o > 0 ,   r > 0  e   f > 0
            Imagem será real sempre que      o  >  f =  r/2
            Imagem será virtual sempre que  o  <  f =  r/2
            Imagem estará no infinito para    o  =  f =  r/2

    No caso de espelhos convexos temos que   o > 0 ,   r < 0   e  f < 0
            Imagem será sempre virtual

Da equação (13.3) podemos determinar a relação obtida para o espelho. Para isto, basta fazer o raio r infinito.

            Um método útil para localizar imagens é a construção geométrica denominada diagrama de raios. Na figura 13.6 está a construção do diagrama, onde o objeto é uma figura (uma seta) perpendicular ao eixo de um espelho e à distância s do vértice do espelho. Por uma judiciosa escolha dos raios que emanam da cabeça da figura, podemos localizar com rapidez a imagem. São quatro os raios principais ou convenientes de usar:

- O raio paralelo: que é traçado paralelamente ao eixo principal. Este raio
                                 se reflete passando pelo foco do espelho.
- O raio focal:      é traçado passando pelo foco. Este raio se reflete
                                 paralelamente ao eixo.
- O raio radial:    é traçado passando pelo centro de curvatura. Este raio
                                atinge perpendicularmente a superfíciedo espelhoe se
                                reflete na direção de incidência.
- O raio central:  traçado pelo vértice do espelho. Reflete-se fazendo com
                                o eixo do espelho um ângulo igual ao de incidência.

            Na figura 13.6, aparecem os três primeiros entre estes raios. A interseção de qualquer dois deles localiza o ponto imagem. O terceiro raio pode ser usado para proporcionar a construção gráfica.

Fig.13.6- Amplificação de imagem em espelhos esféricos
 

Para visualizar a simulação abaixo é necessário ter o JAVA instalado.
Modo de usar : Mover objeto (seta vermelha) usando o mouse

Imagem Formada por Espelho Divergente (Convexo)

13.3- Amplificação

            Um fenômeno que ocorre na reflexão de luz em espelhos curvos é a ampliação. A figura 13.7 mostra um raio (bv) com origem na ponta do objeto (seta) O, sendo refletido pelo espelho no ponto v e passando pela ponta da imagem (seta) I. A lei da reflexão requer que este raio faça ângulos iguais q com o eixo do espelho, como está indicado na figura. Para os dois triângulos semelhantes da figura (abv) e (dev), podemos escrever

            O termo da esquerda ( a menos de um sinal) é a amplificação transversal linear m do espelho. Já que se quer representar uma I magem invertida por um aumento negativo, define-se arbitrariamente m para este caso como sendo igual –(de/ab). Como vc=i e vb=o, tem-se imediatamente

            Esta equação dá a amplificação para espelhos planos e esféricos em todas circunstâncias. Para um espelho plano m = +1, pois o=-i, isto significa que o objeto e a imagem tem as mesmas dimensões. Quando m é um valor negativo diz-se que a imagem está invertida em relação ao objeto.
 

13.4-Aplicação

1) - Espelho Côncavo
    Um objeto foi colocado a 10 cm. do vértice de um espelho côncavo cujo raio r = 40 cm ou f = 20cm.
        - Determine a ampliação transversal.
        - Verifique se a imagem é real ou virtual.
        - Qual deve ser a posição da imagem no caso em que a ampliação m = 1 ?

    No caso de espelhos côncavos temos que

A ampliação é igual a

Isto implica que imagem ficou duas vezes maior e é virtual. No caso em que m = 1 temos que a posição da imagem é igual a

2) Objeto próximo de um espelho côncavo

            Um objeto de 1,0 cm de altura, foi colocado a 10,0 cm do vértice de um espelho côncavo, cujo raio de curvatura é de 30,0. Determine a posição da imagem e sua magnificação. Desenho um diagrama de raios localizando (aproximadamente) a posição da imagem.
    Desde que f = r/2 = 15,0cm, então o objeto está entre o espelho e o ponto focal.

Isto implica que a imagem é virtual então deve estar localizada no lado virtual do espelho, como mostra a figura 13.8 baixo.

Fig.13.8 - Formação de imagem virtual a partir de objetos reais.

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          Last Updated: Dec/12/2000
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