Voltar à página principal                                                                       Próxima Aula

12.1- O Princípio de Fermat

Como temos observado, nas seções precedentes, a óptica geométrica se baseia em três princípios:

  i)- A luz se propaga em linha reta numa região uniforme
  ii)- O ângulo de incidência de um raio luminoso, em espelho, é igual ao ângulo de reflexão
  iii)- Pela lei de Snell os ângulos de incidência e o de refração de um raio luminoso, ao atravessar meios materiais com índices de refração distintos é dado por : n₁ sen q₁ = n₂ sen q₂ .

    Mostraremos, a seguir, como estas três regras podem ser obtidas de único princípio da física, conhecido com o princípio de Fermat : A luz para ir de um ponto A a um outro ponto B, o fará pela trajetória cujo tempo de trânsito será menor do que o tempo de trânsito para qualquer outra trajetória vizinha. O princípio de Pierre Fermat foi enunciado por volta de 1650.
 
 

12.2- A Reflexão

    Em seções anteriores, estudamos o processo de reflexão de um raio luminoso, usando o princípio de Huygens juntamente com considerações geométricas. A seguir, estudaremos o mesmo fenômeno usando o princípio de Fermat.

    Observando a figura 12.2(a) notamos que existem várias trajetórias possíveis, para um raio luz ir do ponto A ao B por reflexão no plano espelhar. Neste caso, qual será o caminho realmente percorrido pela luz?

    De acordo com o princípio de Fermat, um raio de luz percorre o trajeto entre dois pontos levando sempre o menor tempo possível. Com base nisto, responderemos a questão anterior. A figura 12.2 (b) e o teorema de Pitágoras mostram que o comprimento do trajeto de A até o ponto (P) de reflexão no espelho, é

e que o comprimento do trajeto até o ponto B é igual

O tempo de trânsito para ir de A até B é a soma dos tempos gastos pelos raios incidentes e refletidos;

    No caso da luz se propagando com velocidade v ao longo do trajeto de A a B, o tempo gasto necessário é o comprimento total do trajeto dividido por v. Assim,

    Como o valor de t depende "suavemente" (não há variações abruptas) do valor de x, o cálculo diferencial nos diz que, se houver um valor de x que minimize t, então dt/dx será igual a zero. Logo, calcularemos a derivada, de acordo com Fermat, obtendo.

Igualando a derivada a zero, resulta

O lado esquerdo dessa igualdade é exatamente sen(q₁) , e o lado direito é exatamente sen(q₂). Portanto temos que

Isto significa que, na reflexão o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.

    A relação dt/dx = 0 é o critério de que t seja mínimo ou um máximo para o valor de x tirado da relação. Você pode confirmar que o valor obtido para x, na verdade dá um t mínimo calculando esse t e comparando-o com o valor de t obtido para x = 0 e x = r.
 
 

12.3- A Refração

    Para deduzir a lei da refração, usando o princípio de Fermat, construímos a figura 12.3, como plano contendo a trajetória da luz perpendicular ao plano que separa as regiões de índices de refração n₂ e n₂. A luz propaga-se do ponto A na primeira região para um ponto a uma dist6ancia desconhecida x da base da perpendicular ao plano de separação entre os dos meios materiais. O comprimento da perpendicular é a. A luz continua o seu caminho na Segunda região até B, que está a um ponto B, situado a uma distância b do plano de separação.

    De forma similar ao caso da reflexão, existem várias trajetórias possíveis para raio de luz ser refratado ao percorrer por dois meios materiais distintos, como mostra a figura 12.3.

    O tempo para percorrer do ponto A até B, é igual a soma dos tempos para percorrer de A até a superfície P e de P a B. Como os meios têm índice de refração distintos, a luz terá consequentemente velocidades diferentes. Seja estas velocidades no meio 1 e 2, iguais a v₁ e v₂ respectivamente. Assim,

Usando a definição de índice de refração para um meio material em relação ao vácuo temos que,

Observando a figura 12.3, por considerações geométricas tiramos que,

Portanto o tempo necessário para a luz se propagar ao longo do trajeto A e B é,

Calculando novamente dt/dx, obtemos

De acordo como princípio de Fermat a trajetória real a ser percorrida pelo raio de luz será aquela que satisfaz a relação dt/dx = 0. Isto significa que,

Usando relações geométricas tiradas da figura 12.3, podemos rescrever a equação acima em termos dos ângulos de incidência q₁ e refração q₂, como a seguir,

Esta equação é a própria lei de Snell, obtida em seções anteriores usando o princípio de Huygens e considerações geométricas.
    As afirmações que se seguem dão um resumo qualitativo do fenômeno da refração: Quando um feixe de luz atravessa uma superfície passando para uma região de índice de refração maior, ele se curva aproximando-se da normal à superfície. Quando um feixe de luz atravessa uma superfície passando para uma região de índice menor, ele é encurvado, afastando-se da normal á superfície. Este fenômeno é uma conseqüência da reversibilidade dos raios luminosos em um processo de refração, ou reversibilidade da lei de Snell.
    Devemos ressaltar que os fenômenos de reflexão e refração podem ocorrer simultaneamente. Isto significa que parte dos raios luminosos serão refletido pela superfície de contato e a outra parte refratada. Neste caso, tanto a reflexão quanto a refração continuam obedecendo as leis encontradas anteriormente.

12.4- Reflexão interna total
 

        Considerem-se dois meios materiais em contato, com índices de refração diferentes e sendo n₁ > n₂. Um raio de luz que atravessa do meio de maior índice de refração para o de menor, será refratado de forma que raios de luz se afastam da normal à superfície. Seja por exemplo, o meio n₁ o vidro e n₂ o ar. Ao aumentarmos o ângulo de incidência, com relaçãoà normal, perceberemos que consequentemente o ângulo de refração aumenta a uma proporção dada pela a Lei de Snell. Isto significa que deve existir um ângulo crítico que a partir dele não haverá mais refração e sim reflexão total.

        Este fenômeno é conhecido como reflexão interna total e está intimamente relacionado com a lei de Snell. Veja uma simulação deste caso na figura 12.4. Nesta figura, observamos que à medida que o ângulo de incidência aumenta, chega-se a uma situação em que o ângulo de refração é igual a 90^o. Para ângulos de incidência maiores que este ângulo limite, não existe mais raios refratados, ocorrendo então a reflexão interna total.

    Matematicamente o ângulo crítico q_c pode ser determinado fazendo-se, na lei de Snell, o ângulo q₂ = 90^o , isto é;

Para o vidro e o ar, com índices de refração n₁ = 1.50 e n₂ = 1.00 , o ângulo crítico é igual a q_c = 41.8^o. No caso da interface água e ar, com índices de refração n₁ = 1.50 e n₂ = 1.00 respectivamente, o ângulo crítico é igual a q_c = 48.75^o. A reflexão interna total não ocorre quando a luz provém do meio de menor índice de refração.
 
 

12.5- Aplicações

      Um raio de luz incide sobre uma face de um prisma de vidro imerso no ar, como mostra a figura abaixo. O ângulo q é escolhido de tal maneira que o raio emergente também faça um ângulo q com a normal à outra face. Deduzir um expressão para o índice de refração do material do prisma em relação ao ar.

        Observando a figura acima, encontramos que o desvio angular y é igual à soma dos dois ângulos internos opostos do triângulo aed.

  .

Temos também que o ângulo abc é a = f /2, sendo f o ângulo do prisma. Substituindo este valor na equação acima obtemos

No ponto a , q é o ângulo de incidência e a o de refração. Aplicando a lei de Snell para o raio incidente, temos que

Usando os valores de q e a obtidos anteriormente, tem-se

    .

Para o caso particular de um prisma delgado com desvio angular pequeno, isto é f e y pequenos temos que,

Electronic Address : kcmundim@unb.br 
          Last Updated: Dec/12/2000
         Copyright 1997: Kleber C. Mundim. All rights reserved.
         Register N^o  169.766 - Biblioteca Nacional - Ministério da Cultura