Lei de Gauss : Exemplos

Lei de Coulomb via Lei de Gauss

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Campo Elétrico em Condutores

Calculando o Campo Elétrico via Lei de Gauss

Exemplo 1: Campo elétrico devido a um fio infinito carregado

No caso de um fio infinitamente carregado, notamos que as linhas de campo apontam para fora do fio, veja Fig.1. A simetria desta linhas é cilíndrica, isto é, E é perpendicular ao fio em qualquer ponto. Neste caso somos levado a usar uma superfície gaussiana com tal simetria. Isto sugere-nos a usar um cilindro fechado de comprimento L como sendo a superfície Gaussiana.

Fig.1 - Superfície gaussiana para um fio infinito

Por simetria, como o fio é infinito e uniformemente carregado, o campo elétrico E é uniforme e está dirigido para fora do fio. Neste caso não há linhas de campo atravessando as paredes superior (S₁) e inferior (S₂), desta forma a integral de superfície de E, calculada sobre toda a superfície gaussiana, reduz-se ao fluxo de E na superfície lateral. Usando a lei de Gauss, o campo E pode ser calculado da seguinte forma.

(11)

o que é equivalente a

(12)
Já o fluxo tanto na superfície S₁ quanto na superfície S₂ são nulos pois elas são perpendiculares ao campo elétrico. Isto é,

(13) onde

é exatamente a superfície lateral de um cilindro. Logo, da equação (11) tiramos que,

Podemos observar que, embora toda a carga no fio contribua para o campo e, somente a parte envolvida pela superfície gaussiana é utilizada, quando aplicamos a lei de Gauss. Esta peculiaridade da lei é, a princípio intrigante; é como se tivéssemos obtido, de algum modo, o resultado correto, ignorando uma parte da carga, obtendo o campo de um fio curto de comprimento l, como se fosse o mesmo que o de um fio longo. A existência de toda a carga do fio foi, no entanto, levada em conta quando consideramos a simetria do problema. No caso de um fio curto teríamos que considerar que o campo, nas extremidades do fio, fosse diferente do campo no centro do mesmo.

Em resumo, podemos notar que o campo E devido a um fio infinitamente carregado, é diretamente proporcional a densidade linear de carga e inversamente proporcional a distância do ponto P ao fio.

Exemplo 2: Campo elétrico devido a um plano infinito carregado

Admitiremos que o plano infinito contenha cargas positivas uniformemente dsitribuidas e sua superfície. Desejamos com isto calcular o campo elétrico (E) em ponto P qualquer nas proximidades deste plano, como mostra a Fig.2.

Fig.2 - Superfície gaussiana para um plano infinito carregado.

Para resolver este problema, construiremos a superfície gaussiana (cilíndrica) mostrada na Fig.2. Ela constituída de um cilindro com bases de área A e cujo eixo é perpendicular ao plano da carga. Por simetria, como o plano é infinito, o campo elétrico E é o mesmo nos dois lados da superfície, é uniforme e está dirigido para fora, perpendicularmente ao plano. Não há linhas de campo atravessando as paredes laterais do cilindro, desta forma a integral de superfície de E, calculada sobre toda a superfície gaussiana, reduz-se a contribuição do fluxo de E nas duas superfícies S, isto é;

(14)

Supondo s a densidade superficial de carga ou carga por unidade de área, a carga total no interior da superfície gaussiana pode ser calculada por,

(15) então,

Observe que a intensidade do campo independe da distância ao plano de cargas e não diminui inversamente com o quadrado da distância. As linhas de campo são paralelas e uniformemente espaçadas em todo o espaço. Isto decorre do fato de termos considerado o plano carregado infinitamente grande.

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