Leis de Gauss e Coulomb

Lei de Gauss

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Campo Elétrico via Lei de Gauss

Conexão entre as Leis de Coulomb e Gauss

A seguir mostraremos que a lei de Coulomb pode ser derivada da lei de Gauss. Por simplicidade, faremos esta demonstração para o caso de uma carga Q puntiforme, como mostra a Fig.1.

Figura 1 - Superfície gaussiana envolvendo uma carga Q puntiforme.

Antes disto vamos calcular o campo elétrico devido a uma carga puntiforme usando a lei de Gauss. Usando as regras para a escolha da superfície gaussiana, por simetria, somos intuído a escolher uma superfície gaussiana esférica com uma carga Q no seu centro. Nas seções anteriores, vimos que, por motivo de facilidade de cálculo devemos sempre escolher uma superfície gaussiana S, que tenha uma simetria apropriada ao problema. Isto significa, que S deve ser escolhida de forma que o campo elétrico seja constante em qualquer ponto dela.
Gostaríamos de lembrar, que o cálculo de E poderia ser feito usando qualquer superfície gaussiana, como por exemplo superfícies cúbica ou cilíndrica. Estas duas superfícies levam ao mesmo resultado para E. O problema reside na dificuldade de resolver a integral que aparece na lei de Gauss.

- O campo E é normal a superfície em todos os pontos o que implica em

(1)

- O campo E tem os mesmo valor em cada ponto sobre a superfície

Na figura abaixo n é o vetor unitária normal à superfície S e é o ângulo entre os vetores E e n. Como as linhas de campo elétrico são radiais no caso de cargas elétricas puntiformes, temos que o vetor campo elétrico é paralelo ao vetor normal em qualquer ponto da superfície, isto é = 0 , como mostra a Fig.2, isto é

Fig.2 - Campo elétrico é normal à superfície esférica

Assim a equação (1) assume a forma,

(6) que após a integração assume a forma;

(6a) Por outro lado sabemos que a superfície de uma esfera é igual a

. Substituindo S em (6) o campo elétrico
na superfície da esfera dado por;

(7)

o qual terá a mesma direção do vetor normal, isto é o campo elétrico é radial. Sabemos também, das seções anteriores que a força sobre uma carga de prova Q_o colocada na presença de um campo elétrico é igual a

(8) Substituindo a eq.(8) em (9) obtemos

(9)

Esta relação entre Q_o e E é conhecida como lei de Coulomb, onde r é a distância entre as duas cargas Q e Q_o.

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