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O produto interno de n-vetores num espaço multilinear alternado é introduzido, objetivando a generalização mencionada anteriormente. Um produto interno num espaço vetorial E , como mostrado na seção 1, é uma forma bilinear. Assim, o produto entre um par de vetores e indicado por é simétrico e positivo, isto é:
Seja então H, onde H é o espaço vetorial de Hilbert, o qual sabe-se é munido de um produto interno. Pode-se mostrar (veja seção 2) que é possível introduzir um produto interno em cada espaço H. Para isso, fixa-se o inteiro n>0 e considera-se uma forma 2n-linear . Tem-se também que a cada produto em H corresponde uma transformação linear . Explicitamente, para cada H , é um funcional linear tal que . Assim,
é uma forma multilinear alternada nas linhas ou colunas da matriz , isto quer dizer que é alternada nos e nos separadamente.
A partir dos elementos discutidos acima, apresenta-se o conceito de valência generalizada de um grupo atômico G . Para isto defini-se a valência de um grupo atômico pela relação:
Então é a soma das interações entre os átomos pertencentes ao grupo G e todos os outros átomos fora deste grupo. Neste sentido, a equação acima fornece um significado quantitativo para a noção intuitiva de valência de um grupo atômico. É facilmente verificável que a valência do grupo G pode ser expressa em função dos índices de ligação entre os átomos a e b por
A valência de grupo pode também ser definida em termos tensoriais [35], usando as expressões 0.96 e 0.97.
Uma das consequência desta generalização é a de que valência de grupo pode assumir valores não inteiros. Isto advém das contribuições das ligações indiretas, entre os átomos pertencentes e os não pertencentes ao grupo G. A expressão 0.123 tem como caso particular a definição de valência de um átomo na molécula i.e.
o que significa que a valência do átomo a na molécula é a soma nos índices de ligação entre o átomo a e todos os outros átomos da molécula.