Next: Generalização
do Conceito de Up: Algumas
Aplicações Previous: Formulação
Usando Álgebra de
A seguir faz-se breves considerações sobre a descrição dos estados não ortogonais usando a álgebra de Grassmann. Neste caso denota-se por um orbital de spin ortogonal, do tipo de Löwdin, obecendo as regras de anticomutação. Em outras palavras, pode-se dizer que os e são os operadores de criação e aniquilação na base de Löwdin.
Defini-se então uma base não ortogonal usando os por;
onde é a raiz quadrada da matriz de superposição entre os estados i,j (em inglês ''overlap matrix '').
As regras de comutação sobre os geradores não ortogonais podem ser obtidas de forma semelhante à aquela discutida na seção anterior. Isto é;
Similarmente,
Enquanto
lembrando que .
Deve-se ressaltar que o operador não pode ser considerado, verdadeiramente, como um operador de criação com relação a devido as regras de não ortogonalidade entre eles. Mas, pode-se notar pelas equações (0.115-0.117) que eles obedecem as mesmas regras de anticomutação, portanto continuam com as mesmas propriedades dos geradores de uma álgebra de Grassmann como definida anteriormente. Isto implica que o determinante não é normalizado, como mostra a relação seguinte
No sentido didático segue abaixo um exemplo ilustrativo (caso bidimensional) dos resultados acima;
Esta equação foi obtida usando as regras de anti-comutação
(0.115-0.117)
obedecidas pelos geradores
e