Aula 4

1 - O Efeito Fotoelétrico

Enquanto Planck considerava a quantização da energia, na sua teoria da radiação do corpo negro, como um artifício de cálculo, Einstein enunciou a audaciosa hipótese da quantização da energia ser uma propriedade fundamental da energia eletromagnética. Três anos mais tarde, aplicou a idéia da quantização da energia às energias moleculares para resolver outro enigma da física- a discrepância entre os calores específicos, calculados pelo teorema da equipartição da energia, e os calores observados experimentalmente em temperaturas baixas. Depois, as idéias da quantização da energia foram aplicadas às energias atômicas, por Niels Bohr, na primeira tentativa de explicar os espectros atômicos. A hipótese de Einstein sugere que a luz, ao atravessar o espaço, não se comporta como uma onda, mas sim com uma partícula.

Fig. 1 - Diagrama esquemático do aparelho básico para investigar o efeito fotoelétrico

Click na figura para simular

O efeito fotoelétrico foi descoberto por Hertz, em 1887, e estudado por Lenard em 1900. A Fig.1 mostra o diagrama esquemático do aparelho básico para a realização do experimento de investigação do efeito fotoelétrico. Quando a luz incide sobre a superfície metálica limpa, no catodo C, provoca a emissão de elétrons pela superfície. Se alguns destes elétrons atingirem o anodo A, haverá uma corrente no circuito externo. O número de elétrons emitidos que atingem o anodo, pode ser aumentado ou diminuído fazendo-se o anodo mais positivo, ou mais negativo, em relação ao catodo. Seja V a diferença de potencial entre o catodo e o anodo. A Fig. 2a mostra a corrente em função da ddp (V) para dois valores diferentes da intensidade da luz incidente aplicada sobre o catodo. Quando V for positivo, todos os elétrons emitidos atingem o anodo e a corrente tem o seu valor máximo.
Observa-se, experimentalmente, que um aumento extra de V não afeta a corrente. Lenard observou que a corrente máxima era proporcional à intensidade da luz. Quando V for negativo, os elétrons são repelidos pelo anodo. Somente os elétrons que tenham as energias cinéticas iniciais mv²/2 maiores que |eV| podem atingir o anodo. Pela Fig. 2 podemos ver que se V for menor que –V_o, nenhum elétron consegue chegar ao anodo. O potencial V_o é o potencial frenador o qual está relacionado com a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície pela relação:

O resultado experimental, da independência de V_o em relação à intensidade da luz incidente, era surpreendente.

Fig. 2 -

Na visão clássica, o aumento da taxa da energia luminosa incidente sobre a superfície do catodo deveria aumentar a energia absorvida pelos elétrons e deveria, por isso, aumentar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos.

Aparentemente, não era o que acontecia. Em 1905, Einstein demonstrou que este resultado experimental poderia ser explicado se a energia luminosa não fosse distribuída continuamente no espaço, mas fosse quantizada , como pequenos pulsos, cada qual denominado um fóton. A energia de cada fóton é hn , onde n é a freqüência e h a constante de Planck. Um elétron ejetado de uma superfície metálica exposta à luz, recebe a energia necessária de um único fóton. Quando a intensidade da luz, de uma certa freqüência, for aumentada, maior será o número de fótons que atingirão a superfície por unidade de tempo, porém a energia absorvida por um elétron ficará imutável. Se f for a energia necessária para remover um elétron de uma
superfície metálica, a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície será

Esta equação é conhecida como a equação do efeito elétrico. A grandeza f é a função trabalho, característica do metal. Alguns elétrons terão energias cinéticas menores que hn -f em virtude da perda de energia que sofrem ao atravessar o metal. A partir da equação do efeito fotoelétrico, podemos ver que o coeficiente angular da reta dá V_o contra n deve ser igual a h/e.

Em resumo podemos ressaltar três pontos importantes da hipótese de Einstein:

- A energia cinética de cada elétron não depende da intensidade da luz. Isto significa que dobrando
a intensidade da luz teremos mais elétrons ejetados, mas as velocidades não serão modificadas.

- Quando a energia cinética de um elétron for igual a zero significa que o elétron adquiriu energia
suficiente apenas para ser arrancado do metal.

- A ausência de um lapso de tempo entre a incidência da radiação e a ejeção do fotoelétron.

A verificação experimental da teoria de Einstein era bastante difícil. Experiências cuidadosas de Millikan, publicadas pela primeira vez em 1914, e depois com maior detalhe em 1916, mostraram que a equação de Einstein estava correta e que as medidas de h concordavam com o valor encontrado por Planck.

Os fótons com as freqüências menores que o limiar fotoelétrico, e portanto com comprimentos de onda maiores que o limiar fotoelétrico em comprimento de onda, não tem energia suficiente para arrancar um elétron de uma certa superfície metálica. O limiar fotoelétrico, e o comprimento de onda correspondente podem ser relacionados à função trabalho f, igualando-se a zero a energia cinética máxima dos elétrons na equação de Einstein.

Problema 1
Uma fonte de luz monocromática a 5500 (Angstrom) emite 5 watts de radiação. Quantos fótons são emitidos a cada segundo ?

de onde tiramos que o número de fótons é igual a;

Problema 2

O limiar de freqüência ou freqüência de corte para a liberação de fotoelétrons no sódio é:

Encontre a função trabalho f para este material.

2- Efeito Compton

Seguido das descobertas de Planck e Einstein, foram feitos muitos outros experimentos, que só poderiam ser explicados usando o comportamento corpuscular (fótons) da luz. Um desses experimentos é o efeito Compton proposto por A. H. Compton (1923). Compton estudou o espalhamento de raio-X em materiais. Em seus experimentos ele mostrou que a luz espalhada tinha uma freqüência mais baixa do que a incidente, indicando com isto uma perda de energia no processo de espalhamento. Este fenômeno não pôde ser explicado usando a luz como um fenômeno ondulatório. Compton explicou este fenômeno ao estudar a colisão de elétrons com fótons, aplicando as leis de conservação de energia e momento. Veja Fig. 3.

Fig.3 - Espalhamento de Compton

Simulação da colisão elétron+fóton no efeito Compton

Para analisar o efeito Compton, é necessário levar em conta que o efeito é relativístico já que o fóton é uma partícula relativística e viaja à velocidade da luz. Então devemos usar as equações da relatividade para a variação da massa, da energia e do momento linear. A massa m de uma dada partícula é dada por

sendo m_o a massa de repouso, c a velocidade da luz.
As energias total antes e depois do choque são dadas respectivamente por;

Aplicando a conservação da energia e momento linear, obtemos:

- Sobre a conservação da energia

Reorganizando a equação acima e elevando ambos lados ao quadrado obtemos

(1)

- Sobre a conservação do momento linear

Conservação do momento linear (veja Fig. 1b), componente x e componente y respectivamente

A seguir eliminaremos os termos contendo q nas equações acima. Para isto tomemos o quadrado de ambos lados das duas equações acima.

somando ambas equações,

multiplicando por c² ambos lados da equação acima, temos que

(2)

Subtraindo a equação (2) da equação (1), obtemos

(3)

O lado direita da equação acima pode ser rescrito por

Com isto a equação (3) assume a forma

Simplificando ambos lados da equação acima, obtemos

onde temos usado a relação trigonométrica

Definindo como sendo o comprimento de onda de Compton, temos que

Esta é a variação do comprimento de onda e conseqüentemente da freqüência, observado experimentalmente, no choque de um elétron com fóton. Isto significa que realmente o fóton perde energia no choque. Esta energia perdida é transformada em energia cinética usada pelo elétron.

Com isto, mostramos que a descrição do efeito Compton fica bem estabelecida quando a sua interpretação é feita a partir do choque entre um fóton e um elétron, assumindo o comportamento corpuscular da luz.

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