Aula 14

O Conceito de Entropia

 

1)- A Entropia e a Estatística

A idéia que correlaciona desordem com entropia é melhor compreendida com o uso da estatística ou análise probabilística. Este caso foi primeiramente estudado por Ludwig Boltzmann (1844-1906).

Vamos tomar um exemplo prático analisando as possíveis combinações (cara e coroa) de um sistema com quatro (4) moedas. Denominaremos por estado cada uma destas combinações:

Macroestados

Numero de estados possíveis

No. de Microestado

4 caras

UUUU

1

3 caras e 1 coroa

UUUD, UUDU, UDUU, DUUU

4

2 caras e 2 coroas

UUDD, UDUD, UDDU, DUUD, DUDU, DDUU

6

1 cara e 3 coroas

UDDD, DUDD, DDUD, DDDU

4

4 coroas

DDDD

1

Temos um total de 16 possibilidades ou 16 estados. Qual situação ou microestado é a mais provável?

Nesta tabela, vemos que o estado desorganizado (2 caras e 2 coroas) é o mais provável de ser encontrado, a chance de encontra-lo nesta desorganização é de 6/16.

2)- Outras exemplos: Sistemas de Spins

O paramagnetismo, diamagnetismo e o ferromagnetismo dos materiais podem ser entendido estudando o comportamento e organização dos spin eletrônicos em um sistema atômico e molecular.

-Já imaginou quantos elétrons existem em um centímetro cúbico de ferro?

-Como calcular a desordem de um sistema tão complexo como este?

-Tente aplicar o mesmo procedimento usado no caso das moedas para calcular os possíveis estados de organização dos spins (up ­ ) (down ¯ ).

Vejamos para o caso de apenas 100 spins

­

¯

Numero de Microestados

100

0

1

99

1

1,0 x 102

80

20

5,4 x 1020

60

40

1,4 x 1028

50

50

1,0 x 1029

40

60

1,0 x 102

20

80

5,4 x 1020

1

99

1,4 x 1028

0

100

1

 

3)- A Entropia de Boltzmann

Boltzmann (1844-1906) propôs uma forma de calcular a entropia destes sistemas complexos.

Consideremos, por exemplo, dois sistemas moleculares A1, A2 os quais estão separados no estado de equilíbrio. Os macroestados de A1, A2 podem ser representados por

onde ni, Vi e Ei são respectivamente os números de partículas, volume e a energia de cada sistema.

A1

n1, V1, E1

A2

N2, V2, E2

O número de microestados no sistema i é descrito por Zi(Ei), conhecida como função partição.

é o número de microestados possíveis em cada sistema Ai

número de microestados dos sistema A1 + A2

Um dos passos importantes na análise do comportamento desta função é buscar os seus extremos (maximização ou minimização). Isto é feito derivando Z em termos das energias envolvidas e igualando a zero:

#9; no equilíbrio

Como,

Então das duas equações acima deduzimos que

Esta equação acima pode ser re-escrita por

onde é a Entropia de Boltzmann. Boltzmann mostrou ainda que a entropia estava relacionada com a temperatura pela equação,

4)- Sobre a Aditividade da Entropia - A Entropia é Aditiva ?

Se estamos tratando de dois sistemas isolados, a propriedade de aditividade de qualquer conceito físico é representado por uma soma direta dos conceitos, isto é;

 

número de partículas nos dois sistemas

volume total dos sistemas 1 e 2

Energia total

Por definição de entropia temos que a entropia do sistema composto é igual a;

Daí tiramos que a entropia de Boltzmann é também é aditiva, isto é;

5)- Caso Geral

O caso geral é quando temos um número grande de sistemas interagentes e cada um destes sistemas tem incontáveis micro-estados. Neste caso a entropia de Boltzmann pode ser escrita por;

A probabilidade de se encontrar um estado qualquer Ni é dado por Ni /N= pi. Usando os resultados acima juntamente com a fórmula de Stirling

a entropia pode ser re-escrita da seguinte forma,

ou

Levamos em conta, também, que soma de todas as probabilidades tem que ser igual a um ou normalizada, isto é,

Destas equações tiramos que a entropia é igual a

Conhecida também como entropia de Shanon.

 

7)- Uma questão que podemos colocar agora é:

 

a) Função Partição

 

 

b) Energia Média

 

 

c) Entropia

 

d) Energia Livre de Helmholtz

 

 

 

e) Dispersão

 

f) Calor Específico  

 

 

 

7)- Uma questão que podemos colocar agora é:

É possível generalizar a entropia ?

Constantino Tsallis (1998) propôs uma generalização da entropia postulando-a da seguinte forma:

onde q é um número real.

Mostraremos a seguir que as entropias de Boltzmann e Shanon são casos particulares da Entropia de Tsallis, no limite em que q ® , isto é;

ou

 

7)- Esta entropia é aditiva ?

Pode se mostrar que esta entropia não é aditiva, mas é pseudo aditiva, isto é;

isto significa que a entropia de Tsallis só é aditiva no limite em que q ® 1.