Aula 14
O Conceito de Entropia
1)- A
Entropia e a Estatística
A idéia que
correlaciona desordem com entropia é melhor compreendida com o uso da
estatística ou análise probabilística. Este caso foi
primeiramente estudado por Ludwig Boltzmann (1844-1906).
Vamos tomar um exemplo prático analisando as possíveis combinações (cara e coroa) de um sistema com quatro (4) moedas. Denominaremos por estado cada uma destas combinações:
Macroestados |
Numero de estados possíveis |
No. de Microestado |
4 caras |
UUUU |
1 |
3 caras e 1 coroa |
UUUD, UUDU, UDUU, DUUU |
4 |
2 caras e 2 coroas |
UUDD, UDUD, UDDU, DUUD, DUDU, DDUU |
6 |
1 cara e 3 coroas |
UDDD, DUDD, DDUD, DDDU |
4 |
4 coroas |
DDDD |
1 |
Temos um total de 16
possibilidades ou 16 estados. Qual situação ou microestado
é a mais provável?
Nesta tabela, vemos que o
estado desorganizado (2 caras e 2 coroas) é o mais provável de
ser encontrado, a chance de encontra-lo nesta desorganização
é de 6/16.
2)- Outras
exemplos: Sistemas de Spins
O paramagnetismo, diamagnetismo
e o ferromagnetismo dos materiais podem ser entendido estudando o comportamento
e organização dos spin eletrônicos em um sistema
atômico e molecular.
-Já imaginou quantos
elétrons existem em um centímetro cúbico de ferro?
-Como calcular a desordem
de um sistema tão complexo como este?
-Tente aplicar o mesmo
procedimento usado no caso das moedas para calcular os possíveis estados
de organização dos spins (up ) (down ¯ ).
Vejamos para o caso de apenas 100 spins
|
¯ |
Numero de Microestados |
100 |
0 |
1 |
99 |
1 |
1,0 x 102 |
80 |
20 |
5,4 x 1020 |
60 |
40 |
1,4 x 1028 |
50 |
50 |
1,0 x 1029 |
40 |
60 |
1,0 x 102 |
20 |
80 |
5,4 x 1020 |
1 |
99 |
1,4 x 1028 |
0 |
100 |
1 |
3)- A Entropia de Boltzmann
Boltzmann (1844-1906)
propôs uma forma de calcular a entropia destes sistemas complexos.
Consideremos, por exemplo, dois sistemas moleculares A1, A2 os quais estão separados no estado de equilíbrio. Os macroestados de A1, A2 podem ser representados por
onde ni, Vi
e Ei são respectivamente os números de
partículas, volume e a energia de cada sistema.
A1 n1, V1, E1 |
A2 N2, V2, E2 |
O
número de microestados no sistema i é descrito por Zi(Ei),
conhecida como função partição.
é o número de microestados possíveis em cada
sistema Ai
número
de microestados dos sistema A1 + A2
Um dos passos importantes
na análise do comportamento desta função é buscar os
seus extremos (maximização ou minimização). Isto
é feito derivando Z em termos das energias envolvidas e igualando a
zero:
#9; no equilíbrio
Como,
Então das duas
equações acima deduzimos que
Esta equação
acima pode ser re-escrita por
onde é
a Entropia de Boltzmann. Boltzmann mostrou ainda que a entropia estava
relacionada com a temperatura pela equação,
4)- Sobre
a Aditividade da Entropia - A Entropia é Aditiva ?
Se estamos tratando de dois
sistemas isolados, a propriedade de aditividade de qualquer conceito
físico é representado por uma soma direta dos conceitos, isto
é;
número de partículas nos dois sistemas
volume total dos sistemas 1 e 2
Energia total
Por definição
de entropia temos que a entropia do sistema composto é igual a;
Daí tiramos que a
entropia de Boltzmann é também é aditiva, isto é;
5)- Caso
Geral
O caso geral é
quando temos um número grande de sistemas interagentes e cada um destes
sistemas tem incontáveis micro-estados. Neste caso a entropia de
Boltzmann pode ser escrita por;
A probabilidade de se encontrar um estado qualquer Ni é dado por Ni /N= pi. Usando os resultados acima juntamente com a fórmula de Stirling
a entropia pode ser
re-escrita da seguinte forma,
ou
Levamos em conta,
também, que soma de todas as probabilidades tem que ser igual a um ou
normalizada, isto é,
Destas
equações tiramos que a entropia é igual a
Conhecida também
como entropia de Shanon.
7)- Uma questão que podemos colocar
agora é:
a) Função
Partição
b) Energia Média
c) Entropia
d) Energia Livre de Helmholtz
e) Dispersão
f) Calor Específico
7)- Uma
questão que podemos colocar agora é:
É possível generalizar a entropia ?
Constantino Tsallis (1998)
propôs uma generalização da entropia postulando-a da
seguinte forma:
onde q é um
número real.
Mostraremos a seguir que as
entropias de Boltzmann e Shanon são casos particulares da Entropia de
Tsallis, no limite em que q ® , isto é;
ou
7)- Esta
entropia é aditiva ?
Pode se mostrar que esta
entropia não é aditiva, mas é pseudo aditiva, isto
é;
isto significa que a
entropia de Tsallis só é aditiva no limite em que q ® 1.