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18-1 A Luz e a Teoria Quântica (O corpo negro)

    O segundo aspecto da revolução científica que chocou o mundo da física no início do século XX ( o primeiro foi a teoria da relatividade de Einstein), foi a teoria quântica. A revolução da teoria quântica necessitou de aproximadamente três décadas e a contribuição de vários cientistas para concretizar. Os primeiros passos nesta direção, foram dados por Planck (1900) a partir dos seus estudos sobre o corpo negro, os quais cominaram no desenvolvimento da mecânica quântica de Schrödinger e Heisenberg.

    Um dos fenômenos mais intrigantes estudados no final do século XIX era o da distribuição espectral da radiação do corpo negro. Um corpo negro é um sistema ideal que absorve toda a radiação que nele incide. Pode ser materializado por uma cavidade com uma abertura muita pequena. Imaginemos este recinto como umacaixa fechada com uma pequena abertura e cujas paredes sejam aquecidas por um dispositivo qualquer a uma certa temperatura T. As paredes do recinto enviam energia umas para as outras sob a forma de radiação calorífica, de modo que no seu interior existe um campo de radiação. Caracterizamos este eletromagnético especificando a densidade de energia u que, em caso equilíbrio, é a mesma em todos pontos do interior do recinto. Se decompusermos a radiação nas suas componentes espectrais, representamos por u_nd_n a densidade de energia de todas as componentes radiação cuja frequência está incluidano intervalo compreendido entre n  e  n+d_n . Assim, a função u_n abrange todas as frequências desde 0 a infinito e representa um espéctro contínuo. As características da radiaçãodesta cavidade depende somente da temperatura das paredes. Nas temperaturas ordinárias (abaixo de 600^oC), aradiação térmica emitidapor um corpo negro não é visível, pois a energia está concentrada na região do infravermelho do espectroeletromagnético. De acordo com resultados
experimentais, quando o corpo negro é aquecido, a quantidade de energia irradiada aumenta com a quarta potência da temperatura e a concentração de energia, equivalente aos máximos de cada curva, se desloca para os comprimentos de ondas menores.

    A Fig.18-1, mostra a potência irradiada por um corpo negro em função do comprimento de onda para três temperaturas diferentes. Os resultados experimentais relacionados ao espectro de emissão, não foram entendidos na época e consequentemente não se tinha modelos teóricos para a sua descrição. A temperatura T nesta figura é dada em Kelvin.
 

-Lei de Stefan-Boltzmann

    A realização de experimentos com o corpo negro constatou-se que a radiância da cavidade (u) varia com a quarta potência da temperatura do radiador e que a radiação é tanto maior quanto mais quente for o corpo. Esta relação ficou conhecida como lei de Stefan-Boltzmann, isto é a energia total que emerge do orifício da cavidade é dada pela integral da curva experimental, mostrada na Fig.18-1,

onde s é a constante de Boltzmann, T é a temperatura, n é a freqüência e u_n é a densidade de energia espectral. De acordo com Stefan u_n deveria variar com o cubo da freqüência, como na expressão a seguir,

Com isto, Stefan postulava que a densidade de energia fosse função da freqüência (n ) da radiação emitida. Fazendo algumas mudanças de variáveis, podemos rescrever a equação acima como

Substituindo estas resultados na equação integral acima (eq.18.1), temos que

onde a integral é a constante de proporcionalidade ( s ) que aparece na lei de Stefan-Boltzmann eq. (18.1).  A explicação teórica dos resultados experimentais e a compreensão dos efeitos envolvidos com a radiação de cavidades, foi um dos problemas insolúveis mais importantes durante os anos que precederam o século XX. Vários físicos propuseram diversas teorias baseadas na Física Clássica, as quais, no entanto, tiveram apenas sucesso limitado.     Um das questões teóricas da época, mais importantes, girava em torno da determinação explicita da função F que aparece na lei de Stefan. Várias propostas foram feitas sem sucesso.
        A seguir discutiremos duas das mais importantes, as quais referenciamos como a lei Wien e a lei de Rayleigh-Jeans, e no final da seção, apresentaremos a proposta mais realista para a descrição do comportamento de radiação em corpo negro da por Planck.
 

-Lei de Wien

        Avançando um passo na direção da proposta de Stefan, W. Wien encontrou a lei do deslocamento (1893) que tem o seu nome e que enuncia que a distribuição espectral da densidade de energia é dada por uma equação da forma

    Deve-se notar que a lei de Wien inclui a lei de Stefan. A razão por que se chama a lei de Wien por lei do deslocamento é que verificou-se experimentalmente que a intensidade da radiação emitida por um corpo incandescente, mantido a determinada temperatura, se representa graficamente, em função do comprimento de onda, por uma curva da forma indicada na Fig.18-1. Para ondas curtas, assim como para ondas muito longas, a intensidade é infinitamente pequena,
por isso, ter um valor máximo para determinado comprimento de onda. Se a fizermos variar a temperatura do corpo radiante, o gráfico da intensidade também varia; em particular, a posição do máximo é desviada. Verificou-se desta maneira, pelas medições realizadas, que o produto da temperatura pelo comprimento de onda é constante, para o correspondente máximo de intensidade; ou

    Esta relação explica-se imediatamente pela a lei de Wien. Referimo-nos até agora à distribuição da energia em função da freqüência n , representando u_n a energia da radiação no intervalo de freqüência dn . Todavia, a lei do deslocamento é relativa a um gráfico que representa a distribuição de intensidades em função de l , de modo que temos agora u_n a representar a energia por intervalo de comprimentos de onda dl . A conversão de u_n em u_l é fácil: deverá ser evidentemente u_n dn = u_l dl ; e como ln = c, a relação entre dn e dl ser |dn |/n = |dl |/l . Daí resulta que, para a distribuiçãoespectral da energia, expressa em função do comprimento de onda, vem

  .

        Podemos agora demonstrar imediatamente a lei de deslocamento, calculando o comprimento de onda para o qual u_n é máximo. A condição para que seja máximo é que
dn/dl = 0, ou

onde se segue que

Esta equação tem c/lT como única variável e a solução, a existir, deverá evidentemente ser da forma lT = constante. O que equivale a lei do deslocamento.
    Observou-se, também, que a lei de Wien tem concordância com os resultados experimentais apenas no caso de comprimento de ondas pequenos (ou freqüências altas). Isto significa que a equação (18.2) concorda com o experimento apenas no lado esquerdo das curvas (experimentais) mostradas na figura (18-1)
 

-Lei de Rayleigh-Jeans

       Paralelamente dois outros pesquisadores (Rayleigh e Jeans), desenvolveram uma nova teoria na tentativa de explicar os fenômenos experimentais. De acordo com as teorias da época, a termodinâmica, por si só, nada tinha a dizer sobre a função F proposta por Stefan e para determiná-la, os cientistas concordavam que era preciso recorrer a representações especiais por meio de modelos. No entanto, era evidente por considerações do domínio da termodinâmica que a forma da lei dada pela função F deve ser independente do mecanismo especial do modelo. O exemplo mais simples de um corpo radiante é o oscilador harmônico linear de freqüência própria n . Para este oscilador, por um lado, podemos determinar a energia radiada por segundo; sendo esta radiação emitida por um dipolo oscilante a qual é dada por

onde  é a energia média dos osciladores. Pela a lei da equipartição na física estatística a energia média dos osciladores pode ser expressa por

Usando algumas relações matemáticas, podemos rescrever a energia média diferentemente,

então

e consequentemente

onde k é a constante de Boltzmann. Substituindo o valor da energia média na equação para u_n  a temos que

    A qual é denominada de lei de Rayleigh-Jeans. Quando comparamos os valores para u_n  dados pela equação acima como os resultados experimentais, observamos também que eles concordam para toda região do espectro, consequentemente a lei de Jeans é apenas parcialmente válida. Ela só explica uma parte dos espectro de emissão dos radiadores, exatamente na região de grandes comprimentos de onda ou baixa freqüência. É importante ressaltar que a lei de Rayleigh-Jeans descreve o comportamento dos radiadores exatamente na região oposta do espectro de emissão descrita pela lei de Wien. Isto é, a lei de Wien concorda com o experimento na região de baixo comprimento de onda e a de Rayleigh-Jeans na região grande comprimento de onda. Podemos dizer que elas quase se completam.
 

-Lei de Planck

    Para resolver este problema e completar a teoria, Planck postulou que a energia emitida por cada oscilador harmônico fosse em pacotes ou quantizados, isto é e = ne_o, sendo um número inteiro, n=1,2,3….

        Matematicamente isto significa substituir a soma contínua na equação de Rayleigh-Jeans por uma soma discreta, como mostramos a seguir

Consequentemente temos que

Substituindo este resultado na equação da lei de Rayleigh-Jeans temos que,

Esta equação é denominada lei de Planck. Com esta hipótese, Planck conseguiu um modelo teórico que reproduzisse de forma mais realísta os resultados experimentais, no caso da radiação do corpo negro.

        Um outro fato interesse, na lei de Planck, é que ele contem as leis de Wien e Rayleigh-Jeans como caso particular. Mostraremos estas afirmações a seguir.No sentido de completar hipótese de Planck, foi necessário assumir que a energia de cada radiador fosse proporcional à freqüência emitida, isto é e_o= h n . Dessa forma a equação de Planck assume a forma;

Com isto, podemos mostrar matematicamente, sobre dadas condições que a lei de Planck é uma caso mais geral que as anteriores.
 

-Caso da lei de Wien

        Para freqüências altas (hn >>kT) , região de validade da lei de Wien, temos que o fator exponencial é grande comparado com 1, assim em primeira aproximação

Este resultado é exatamente igual ao obtido na hipótese de Wien.

-Caso da lei de Rayleigh-Jeans

A validade da lei de Rayleigh-Jeans se dá na região de freqüências baixas, isto é (hn << kT). Dessa forma podemos
expandir o termo,

substituindo este resultado na equação de Planck temos

a qual é exatamente a lei de Rayleigh-Jeans.
    Em suma, podemos dizer que o ponto chave na hipótese de Planck foi assumir que os osciladores, nos radiadores do tipo corpo negro, emitem energia quantizada e que quantum ou a porção mínima é proporcional a freqüência da energia. O valor da constante h, conhecida como constante de Planck, é nos dias de hoje igual a

    Planck não foi capaz de enquadrar a sua constante h no esquema da física clássica. A import6ancia fundamental da sua hipótese sobre a quantização da energia não foi valorizada até que Einstein (1905) aplicou idéias semelhantes para explicar o efeito fotoelétrico e sugeriu que a quantização era uma propriedade fundamental da radiação eletromagnética. Este foi mais passo importante para o desenvolvimento da física moderna ou a teoria quântica.
 

18.2 - O Efeito Fotoelétrico

         O trabalho de Einstein sobre a teoria da relatividade restrita garantiu-lhe o prêmio Nobel de física. Enquanto Planck considerava a quantização da energia, na sua teoria da radiação do corpo negro, como um artifício de cálculo, Einstein enunciou a audaciosa hipótese de a quantização da energia ser uma propriedade fundamental da energia eletromagnética. Três anos mais tarde, aplicou a idéia da quantização da energia às energias moleculares para resolver outro enigma da
física- a discrepância entre os calores específicos, calculados pelo teorema da equipartição da energia, e os calores observados experimentalmente em temperaturas baixas. Depois, as idéias de da quantização da energia foram aplicadas às energias atômicas, por Niels Bohr, na primeira explicação sobre os espectros atômicos. A hipótese de Einstein sugere que a luz, ao atravessar o espaço, não se comporta como uma onda, mas sim com uma partícula.

    O efeito fotoelétrico foi descoberto por Hertz, em 1887, e estudado por Lenard em 1900. A Fig.18-3 mostra o diagrama esquemático do aparelho básico para a realização do experimento de investigação do efeito fotoelétrico. Quando a luz incide sobre a superfície metálica limpa no catodo C, provoca a emissão de elétrons pela superfície. Se alguns destes elétrons atingirem o anodo A, há corrente no circuito externo. O número de elétrons emitidos que atingem o anodo pode ser aumentado ou diminuído fazendo-se o anodo mais positivo, ou mais negativo, em relação ao catodo. Seja V a diferença de potencial entre o catodo e o anodo. A Fig.18-4a mostra a corrente contra V para dois valores da intensidade da luz incidente sobre o catodo. Quando V for positivo, todos os elétrons emitidos atingem o anodo e a corrente tem o seu valor máximo. Aumento extra de V não afeta a corrente. Lenard observou que a corrente máxima era proporcional à intensidade da luz. Quando V for negativo, os elétrons são repelidos pelo anodo. Somente os elétrons que tenham as energias cinéticas iniciais mv²/2 maiores que |eV| podem atingir o anodo. Pela Fig.35-5, podemos ver que se V for menor que –V_o, nenhum elétron consegue chegar ao anodo. O potencial V_o é o potencial frenador. Está
relacionado com a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície por

    O resultado experimental, da independência de V_o em relação à intensidade da luz incidente, era surpreendente.

Na visão clássica, o aumento da taxa da energia luminosa incidente sobre a superfície do catodo deveria aumentar a energia absorvida pelos elétrons e deveria, por isso, aumentar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos. Aparentemente, não era o que acontecia. Em 1905, Einstein demonstrou que este resultado experimental poderia ser explicado se a energia luminosa não fosse distribuída continuamente no espaço, mas fosse quantizada , como pequenos
pulsos, cada qual denominado um fóton. A energia de cada fóton é hn , onde n é a freqüência e h a constante de Planck. Um elétron ejetado de uma superfície metálica exposta à luz, recebe a energia necessária de um único fóton. Quando a intensidade da luz, de uma certa freqüência, for aumentada, maior será o número de fótons que atingirão a superfície por unidade de tempo, porém a energia absorvida por um elétron ficará imutável. Se f for a energia necessária para remover
um elétron de uma superfície metálica, a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície será

    Esta equação é conhecida como a equação do efeito elétrico. A grandeza f é a função trabalho, característica do metal. Alguns elétrons terão energias cinéticas menores que hn -f em virtude da perda de energia que sofrem ao atravessar o metal. A partir da equação do efeito fotoelétrico, podemos ver que o coeficiente angular da reta dá V_o  contra n deve ser igua a h/e.

Em resumo podemos ressaltar três pontos importantes da hipótese de Einstein:

  - A energia cinética de cada elétron não depende da intensidade da luz.
        Isto significa que dobrando a intensidade da luz teremos mais elétrons
        ejetados, mas as velocidades não serão modificadas.

  - Quando a energia cinética de um elétron for igual a zero significa que o
        elétron adquiriu energia suficiente apenas para ser arrancado do metal.

- A ausência de um lapso de tempo entre a incidência da radiação e a
      ejeção do fotoelétron.

    A verificação experimental da teoria de Einstein era bastante difícil. Experiências cuidadosas de Millikan, publicadas pela primeira vez em 1914, e depois com maior detalhe em 1916, mostraram que a equação de Einstein estava correta e que as medidas de h concordavam com o valor encontrado por Planck.

    Os fótons com as freqüências menores que o limiar fotoelétrico, e portanto com comprimentos de onda maiores que o limiar fotoelétrico em comprimento de onda, não tem energia suficiente para arrancar um elétron de uma certa superfície metálica. O limiar fotoelétrico, e o comprimento de onda correspondente podem ser relacionados à função trabalho f, igualando-se a zero a energia cinética máxima dos elétrons na equação de Einstein.

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          Last Updated: Dec/12/2000
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