Lei de Gauss

Linhas de Força ou de Campo

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Lei de Coulomb via Lei de Gauss

- Lei de Gauss

Na seção anterior discutimos o conceito de linhas de campo ou de força o qual foi introduzido de forma que o número de linhas que atravessam a unidade de área, de uma seção perpendicular à direção das mesmas, é proporcional ao módulo de E. Assim sendo, nas regiões em que as linhas de força são mais próximas temos que o campo E é grande, e nas regiões em que elas são afastadas E é pequeno. Esta propriedade das linhas de força pode ser equacionada da seguinte forma;

(1)
(2)

onde N_lc é o número de linhas de campo, é o produto escalar entre os dois vetores e é o ângulo entre os vetores E e S. O lado direito da eq.(1) é exatamente o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada. Isto significa que o fluxo de campo elétrico que atravessa a superfície S é proporcional ao número de linhas de campo (eq.2).

Se a carga no interior de S for q, o fluxo de linhas de campo elétrico através da superfície S será igual a

onde n é o vetor normal a superfície S. Integrando em toda a superfície S, ambos lados da equação acima, obtemos que

(3)

onde dW é o elemento de ângulo sólido, daí

ou, numa forma mais geral,

Distribuição de Cargas	Lei de Gauss
Discreta
Volumétrica
Superficial
Linear

Tabela 1 - As expressões acima são comumente denominadas
por Lei de Gauss, para diferentes distribuições de cargas.

A lei de Gauss foi desenvolvida por Karl Frieddrich Gauss (1777-1855) e é hoje uma das leis fundamentais do eletromagnetismo. As leis de Coulomb e de Gauss são equivalentes para o caso de campos elétricos produzidos por cargas estáticas. Contudo, os campos elétricos podem ser produzidos por campos magnéticos variáveis no tempo B(t), o que será discutido em seções posteriores. A lei de Coulomb não se aplica a estes campos criados por B(t), mas a lei de Gauss se aplica.

Karl Frieddrich Gauss (1777-1855)

Vimos então, que a lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total, através de uma superfície fechada, é proporcional a carga total envolvida pela superfície S, denominada por superfície gaussiana. O termo fluxo, que significa vazão, é proveniente da hidrodinâmica, onde uma integral semelhante dá a vazão total de fluido através de uma superfície. A lei de Gauss pode então ser enunciada assim:

O fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é proporcional à soma das cargas no interior desta superfície

"".

(4)

Que no caso de uma partícula com carga q, se reduz a;

(5)

A Fig. 1 acima mostra três situações distintas para o fluxo de campo elétrico. No interior da superfície S₁ existe uma carga q positiva, portanto terremos um fluxo de campo elétrico também positivo.

Fig.1 - Fluxo de E em diferentes supefícies gaussianas (S, S₁, S₂ e S₃)

Neste caso as linhas de campo elétrico emergem de um ponto (carga elétrica) e atravessam a superfície S₁, portanto o fluxo é diferente diferente de zero. No caso da superfície S₂ o fluxo é igual a zero () pois a carga q no interior da superfície é nula (q = 0). Na superfície S₃ o fluxo é diferente de zero e negativo já que q < 0. Analisando a equação (4) notamos que o fluxo de campo elétrico através de uma superfície S qualquer será diferente de zero se e somente a carga elétrica total no interior da superfície for também diferente de zero. Se no interior da superfície existe uma carga +q e uma carga -q, teremos também um fluxo nulo, pois a carga elétrica total é igual a zero. Veja figura acima.

A lei de Gauss pode ser usada para determinar o campo elétrico devido a uma dada distribuição de cargas. Ela é uma ferramenta extremamente poderosa no cálculo de E no caso de distribuição de carga simétrica.

Como usá-la ?

- A equação é válida sem restrições, mas em geral não é simples resolve-la
- É muito útil para determinar o Campo Elétrico, quando o sistema físico exibi alta simetria.
- Para resolver a equação acima e determinar E, é necessária uma certa habilidade para escolher
a superfície fechada de forma a facilitar o cálculo da integral.

As principais regras de escolha de S são;

- Orientação: a superfície tem que ser escolhida de forma que o vetor E e a normal à superfície
sejam paralelos ou perpendiculares a cada ponto da mesma. Veja Fig.2.
- Magnitude : a superfície deve ser escolhida de forma que E tenha o mesmo valor em todos
pontos em que E é perpendicular a superfície.

Fig.2- Campo elétrico em uma superfície gaussiana esférica

Mesmo tendo argumentado que devemos sempre escolher uma superfície gaussiana adequada devemos ter claro que a solução do problema independe da forma de S. Isto é justificado pelo fato de que o fluxo de qualquer campo vetorial deve ser independente da superfície S, como mostra a simulação a seguir (Fig.3).

Figura 3- Esta simulação mostra que o fluxo elétrico de uma carga
puntiforme independe da forma da superfície gaussiana

Como podemos notar, na figura acima, o número de linhas de campo elétrico que flui pela superfície S não muda a medida que S varia.
Como a lei de Gauss é uma das leis fundamentais do eletromagnetismo, pode-se mostrar que um conjunto de outras leis podem ser derivadas dela. Um exemplo disto é a lei de Coulomb como mostramos a seguir.

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